Дано: Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. $\angle ABC = 92^\circ$, $\angle CAD = 60^\circ$. Сторона равностороннего треугольника равна $20\sqrt{3}$.

Решение:
1. Найдем угол $ABD$.
2. Угол $ACD$ равен углу $ABD$, так как это вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $AD$.
3. Рассмотрим треугольник $ACD$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.
4. $\angle ADC = 180^\circ - \angle CAD - \angle ACD$.
5. Так как четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, сумма противоположных углов равна $180^\circ$.
6. $\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$.
7. $\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 92^\circ = 88^\circ$.
8. В треугольнике $ACD$: $\angle ACD = 180^\circ - \angle CAD - \angle ADC = 180^\circ - 60^\circ - 88^\circ = 32^\circ$.
9. $\angle ABD = \angle ACD = 32^\circ$.

10. Найдем радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a = 20\sqrt{3}$.
11. Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник равен $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.
12. $r = \frac{20\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 10$.

Ответ: $\angle ABD = 32^\circ$, радиус вписанной окружности равен 10.