1.
Дано: Осевое сечение конуса - равносторонний треугольник, периметр $P = 30$.
Найти: Длину образующей конуса $l$.
Решение:
1.  Осевое сечение равносторонний треугольник, значит, все его стороны равны.
2.  Периметр равностороннего треугольника $P = 3l$, где $l$ - длина стороны, которая также является образующей конуса.
3.  $3l = 30$
4.  $l = \frac{30}{3} = 10$
Ответ: $l = 10$.

2.
Дано: Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом $45^\circ$. Высота конуса $h = 5$.
Найти: Площадь основания конуса, деленную на $\pi$.
Решение:
1.  Пусть $r$ - радиус основания конуса.
2.  Тангенс угла наклона образующей к плоскости основания равен отношению высоты конуса к радиусу основания: $tg(45^\circ) = \frac{h}{r}$.
3.  $1 = \frac{5}{r}$, следовательно, $r = 5$.
4.  Площадь основания конуса $S = \pi r^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi$.
5.  Площадь основания, деленная на $\pi$: $\frac{25\pi}{\pi} = 25$.
Ответ: 25.

3.
Дано: Прямоугольный треугольник с гипотенузой $7\sqrt{2}$ и острым углом $45^\circ$ вращается вокруг катета.
Найти: Площадь осевого сечения полученного тела вращения.
Решение:
1.  При вращении прямоугольного треугольника вокруг катета получается конус.
2.  Так как один из острых углов равен $45^\circ$, то второй острый угол тоже равен $45^\circ$, следовательно, треугольник равнобедренный.
3.  Катеты равны, обозначим их через $a$. Тогда по теореме Пифагора $a^2 + a^2 = (7\sqrt{2})^2$.
4.  $2a^2 = 49 \cdot 2 = 98$, $a^2 = 49$, $a = 7$.
5.  Площадь осевого сечения конуса (равнобедренного треугольника) $S = \frac{1}{2} \cdot 2r \cdot h = rh$, где $r$ - радиус основания конуса, $h$ - высота конуса. В данном случае $r = a = 7$, $h = a = 7$.
6.  $S = 7 \cdot 7 = 49$.
Ответ: 49.

4.
Дано: Прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 и катетом 5 вращают вокруг большего катета.
Найти: Периметр осевого сечения полученного тела вращения.
Решение:
1.  При вращении прямоугольного треугольника вокруг большего катета получается конус.
2.  Найдем второй катет по теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$, где $c = 13$, $a = 5$.
3.  $b^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$, $b = \sqrt{144} = 12$.
4.  Осевое сечение - равнобедренный треугольник с основанием $2r = 2 \cdot 5 = 10$ и боковыми сторонами, равными гипотенузе исходного треугольника, то есть 13.
5.  Периметр осевого сечения $P = 10 + 13 + 13 = 36$.
Ответ: 36.

5.
Дано: Диаметр основания конуса $d = 12$, высота $h = 8$.
Найти: Образующую конуса $l$.
Решение:
1.  Радиус основания конуса $r = \frac{d}{2} = \frac{12}{2} = 6$.
2.  Образующая, высота и радиус основания образуют прямоугольный треугольник, где образующая - гипотенуза.
3.  По теореме Пифагора $l^2 = r^2 + h^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
4.  $l = \sqrt{100} = 10$.
Ответ: $l = 10$.

6.
Дано: Образующая конуса $l = 17$, диаметр основания $d = 16$.
Найти: Высоту конуса $h$.
Решение:
1.  Радиус основания конуса $r = \frac{d}{2} = \frac{16}{2} = 8$.
2.  Образующая, высота и радиус основания образуют прямоугольный треугольник, где образующая - гипотенуза.
3.  По теореме Пифагора $h^2 = l^2 - r^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$.
4.  $h = \sqrt{225} = 15$.
Ответ: $h = 15$.

7.
Дано: Образующая конуса $l = 8$, площадь основания $S_{осн} = 25\pi$.
Найти: Площадь боковой поверхности конуса $S_{бок}$.
Решение:
1.  Площадь основания конуса $S_{осн} = \pi r^2$, где $r$ - радиус основания.
2.  $25\pi = \pi r^2$, следовательно, $r^2 = 25$, $r = 5$.
3.  Площадь боковой поверхности конуса $S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot 5 \cdot 8 = 40\pi$.
Ответ: $S_{бок} = 40\pi$.

8.
Дано: Площадь боковой поверхности конуса $S_{бок} = 10$, длина образующей $l = \frac{1}{\sqrt{\pi}}$.
Найти: Площадь основания конуса $S_{осн}$.
Решение:
1.  Площадь боковой поверхности конуса $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ - радиус основания.
2.  $10 = \pi r \cdot \frac{1}{\sqrt{\pi}}$, следовательно, $10 = r \sqrt{\pi}$, $r = \frac{10}{\sqrt{\pi}}$.
3.  Площадь основания конуса $S_{осн} = \pi r^2 = \pi \cdot (\frac{10}{\sqrt{\pi}})^2 = \pi \cdot \frac{100}{\pi} = 100$.
Ответ: $S_{осн} = 100$.

9.
Дано: Площадь боковой поверхности конуса $S_{бок} = 65\pi$, длина образующей $l = 13$.
Найти: Котангенс угла между образующей конуса и его высотой $ctg(\alpha)$.
Решение:
1.  Площадь боковой поверхности конуса $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ - радиус основания.
2.  $65\pi = \pi r \cdot 13$, следовательно, $r = \frac{65\pi}{13\pi} = 5$.
3.  Высота конуса $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$.
4.  $ctg(\alpha) = \frac{h}{r} = \frac{12}{5} = 2.4$.
Ответ: $ctg(\alpha) = 2.4$.

10.
Дано: Высота конуса $h = 8$, радиус его основания $r = 10$. Расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения равно 4.8.
Найти: Площадь сечения, проведенного через вершину.
Решение:
1.  Пусть $d$ - расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения, $d = 4.8$.
2.  Сечение конуса, проходящее через вершину, представляет собой треугольник.
3.  Высота этого треугольника равна высоте конуса $h = 8$.
4.  Найдем половину основания этого треугольника. Обозначим ее за $x$.
5.  Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом основания, расстоянием от центра основания до плоскости сечения и половиной основания сечения.
6.  Тогда $x = \sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{10^2 - 4.8^2} = \sqrt{100 - 23.04} = \sqrt{76.96} = 8.77$.
7.  Основание сечения равно $2x = 2 \cdot 8.77 = 17.54$.
8.  Площадь сечения $S = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot h = x \cdot h = 8.77 \cdot 8 = 70.16$.
Ответ: $S = 70.16$.