Дано:
1. Вычислить $\operatorname{tg}\frac{3\pi}{2} - \operatorname{ctg}\frac{3\pi}{2} + \cos\frac{\pi}{2} + \operatorname{tg}\frac{\pi}{3}$.
2. Найти производную функции $y = x^8 - 5x^2 + 4$.
3. Найти множество значений функции $y = 5 - \sin 3x$.
4. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков.
5. Тело движется прямолинейно по закону $x(t) = 3t^5 - 2t^4 + 1$ (х в метрах, t в секундах). Найти его скорость в момент времени $t = 2$.
6. Радиус основания конуса равен 3, высота в два раза больше радиуса. Найти объем конуса. ($\pi = 3$).
7. Решить уравнение $6 + 4\cos x = 2$.
8. Найти наименьшее значение функции $y = 3x^3 + 2x^2 - 4x + 3$ на отрезке $[0; 2]$.
9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: $y = x + 2$, $y = -x^2 + 8x - 7$.

Решение:

1. Вычисление значения тригонометрического выражения.
   1.1. Определим значения тригонометрических функций:
       $\operatorname{tg}\frac{3\pi}{2}$ не определен, так как $\cos\frac{3\pi}{2} = 0$.
       $\operatorname{ctg}\frac{3\pi}{2} = \frac{\cos\frac{3\pi}{2}}{\sin\frac{3\pi}{2}} = \frac{0}{-1} = 0$.
       $\cos\frac{\pi}{2} = 0$.
       $\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
   1.2. Поскольку $\operatorname{tg}\frac{3\pi}{2}$ не определен, все выражение не имеет числового значения.

2. Нахождение производной функции.
   2.1. Дана функция $y = x^8 - 5x^2 + 4$.
   2.2. Применим правила дифференцирования: производная суммы/разности равна сумме/разности производных, производная $x^n$ равна $nx^{n-1}$, производная константы равна 0.
   2.3. $y' = \frac{d}{dx}(x^8) - \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(4)$.
   2.4. $y' = 8x^{8-1} - 5 \cdot 2x^{2-1} + 0$.
   2.5. $y' = 8x^7 - 10x$.

3. Нахождение множества значений функции.
   3.1. Дана функция $y = 5 - \sin 3x$.
   3.2. Известно, что для любого угла $\theta$, $-1 \le \sin \theta \le 1$. Следовательно, $-1 \le \sin 3x \le 1$.
   3.3. Умножим неравенство на -1, поменяв знаки неравенства: $-1 \le -\sin 3x \le 1$.
   3.4. Прибавим 5 ко всем частям неравенства: $5 - 1 \le 5 - \sin 3x \le 5 + 1$.
   3.5. Получаем $4 \le y \le 6$.
   3.6. Множество значений функции есть промежуток $[4; 6]$.

4. Нахождение вероятности.
   4.1. При броске двух игральных костей общее число исходов равно $6 \times 6 = 36$.
   4.2. Найдем благоприятные исходы, при которых сумма очков равна 7:
       (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1).
   4.3. Всего таких исходов 6.
   4.4. Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P(\text{сумма 7}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

5. Нахождение скорости тела.
   5.1. Закон движения тела задан как $x(t) = 3t^5 - 2t^4 + 1$.
   5.2. Скорость тела $v(t)$ является первой производной от координаты по времени: $v(t) = x'(t)$.
   5.3. Найдем производную функции $x(t)$:
       $v(t) = \frac{d}{dt}(3t^5 - 2t^4 + 1)$.
       $v(t) = 3 \cdot 5t^{5-1} - 2 \cdot 4t^{4-1} + 0$.
       $v(t) = 15t^4 - 8t^3$.
   5.4. Найдем скорость в момент времени $t = 2$:
       $v(2) = 15 \cdot (2)^4 - 8 \cdot (2)^3$.
       $v(2) = 15 \cdot 16 - 8 \cdot 8$.
       $v(2) = 240 - 64$.
       $v(2) = 176$ м/с.

6. Нахождение объема конуса.
   6.1. Дано: радиус основания $R = 3$.
   6.2. Высота $H$ в два раза больше радиуса: $H = 2R = 2 \cdot 3 = 6$.
   6.3. Формула объема конуса: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.
   6.4. Подставим данные, используя $\pi = 3$:
       $V = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot (3)^2 \cdot 6$.
       $V = 1 \cdot 9 \cdot 6$.
       $V = 54$.

7. Решение тригонометрического уравнения.
   7.1. Дано уравнение $6 + 4\cos x = 2$.
   7.2. Вычтем 6 из обеих частей: $4\cos x = 2 - 6$.
   7.3. $4\cos x = -4$.
   7.4. Разделим обе части на 4: $\cos x = -1$.
   7.5. Решением уравнения $\cos x = -1$ является $x = \pi + 2\pi k$, где $k$ - любое целое число.

8. Нахождение наименьшего значения функции на отрезке.
   8.1. Дана функция $y = 3x^3 + 2x^2 - 4x + 3$ на отрезке $[0; 2]$.
   8.2. Найдем производную функции:
       $y' = \frac{d}{dx}(3x^3 + 2x^2 - 4x + 3)$.
       $y' = 9x^2 + 4x - 4$.
   8.3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $9x^2 + 4x - 4 = 0$.
   8.4. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
       $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-4) = 16 + 144 = 160$.
       $\sqrt{D} = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10}$.
       $x_{1,2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{10}}{2 \cdot 9} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{10}}{18} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{10}}{9}$.
   8.5. Вычислим приближенные значения критических точек:
       $\sqrt{10} \approx 3.16$.
       $x_1 = \frac{-2 + 2 \cdot 3.16}{9} = \frac{-2 + 6.32}{9} = \frac{4.32}{9} \approx 0.48$. Эта точка принадлежит отрезку $[0; 2]$.
       $x_2 = \frac{-2 - 2 \cdot 3.16}{9} = \frac{-2 - 6.32}{9} = \frac{-8.32}{9} \approx -0.92$. Эта точка не принадлежит отрезку $[0; 2]$.
   8.6. Найдем значения функции в критической точке, принадлежащей отрезку, и на концах отрезка:
       При $x = 0$: $y(0) = 3(0)^3 + 2(0)^2 - 4(0) + 3 = 3$.
       При $x \approx 0.48$: $y(0.48) = 3(0.48)^3 + 2(0.48)^2 - 4(0.48) + 3 \approx 3(0.11) + 2(0.23) - 1.92 + 3 \approx 0.33 + 0.46 - 1.92 + 3 = 1.87$.
       При $x = 2$: $y(2) = 3(2)^3 + 2(2)^2 - 4(2) + 3 = 3 \cdot 8 + 2 \cdot 4 - 8 + 3 = 24 + 8 - 8 + 3 = 27$.
   8.7. Сравним полученные значения: 3, 1.87, 27. Наименьшее значение равно 1.87 (приближенно).
       Для более точного ответа, используем $x_1 = \frac{-2 + 2\sqrt{10}}{9}$.
       $y(\frac{-2 + 2\sqrt{10}}{9}) = 3(\frac{-2 + 2\sqrt{10}}{9})^3 + 2(\frac{-2 + 2\sqrt{10}}{9})^2 - 4(\frac{-2 + 2\sqrt{10}}{9}) + 3$.
       Вычисление этого значения вручную сложно и громоздко. Проверим знак производной на интервалах.
       $y' = 9x^2 + 4x - 4$. Корни $x_1 \approx 0.48$, $x_2 \approx -0.92$.
       На интервале $(0, x_1)$, например при $x=0.1$, $y'(0.1) = 9(0.01) + 4(0.1) - 4 = 0.09 + 0.4 - 4 = -3.51 < 0$. Функция убывает.
       На интервале $(x_1, 2)$, например при $x=1$, $y'(1) = 9(1)^2 + 4(1) - 4 = 9 + 4 - 4 = 9 > 0$. Функция возрастает.
       Следовательно, в точке $x_1 = \frac{-2 + 2\sqrt{10}}{9}$ достигается локальный минимум.
       Значение $y(x_1)$ будет наименьшим на отрезке, так как $y(0)=3$, $y(2)=27$, а $y(x_1)$ является минимумом между ними.
       Наименьшее значение функции на отрезке $[0; 2]$ достигается в точке $x = \frac{-2 + 2\sqrt{10}}{9}$.

9. Вычисление площади фигуры.
   9.1. Даны линии: $y = x + 2$ (прямая) и $y = -x^2 + 8x - 7$ (парабола).
   9.2. Найдем точки пересечения графиков, приравняв уравнения:
       $x + 2 = -x^2 + 8x - 7$.
       $x^2 + x - 8x + 2 + 7 = 0$.
       $x^2 - 7x + 9 = 0$.
   9.3. Решим квадратное уравнение:
       $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 49 - 36 = 13$.
       $x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{2}$.
       Пусть $a = \frac{7 - \sqrt{13}}{2}$ и $b = \frac{7 + \sqrt{13}}{2}$.
   9.4. Определим, какая функция находится выше на интервале $(a, b)$. Возьмем точку $x=3.5$ (середина интервала, так как $\sqrt{13} \approx 3.6$, $a \approx (7-3.6)/2 = 1.7$, $b \approx (7+3.6)/2 = 5.3$).
       Для прямой: $y(3.5) = 3.5 + 2 = 5.5$.