1.
Дано: О - центр окружности, $\angle ABC = 28^\circ$.
Решение:
1. $\angle AOC$ - центральный угол, опирающийся на дугу $AC$.
2. $\angle ABC$ - вписанный угол, опирающийся на дугу $AC$.
3. Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.
4. $\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 28^\circ = 56^\circ$.
Ответ: $\angle AOC = 56^\circ$.

2.
Дано: $CD$ - касательная к окружности с центром $O$, $D$ - точка касания, радиус окружности $OD = 6$ см, $\angle DCO = 30^\circ$.
Решение:
1. Так как $CD$ - касательная, то радиус $OD$ перпендикулярен касательной в точке касания, то есть $\angle ODC = 90^\circ$.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ODC$.
3. $\sin(\angle DCO) = \frac{OD}{OC}$.
4. $\sin(30^\circ) = \frac{6}{OC}$.
5. $\frac{1}{2} = \frac{6}{OC}$.
6. $OC = 2 \cdot 6 = 12$ см.
Ответ: $OC = 12$ см.

3.
Дано: Окружность с центром $O$, диаметр $AB$, хорды $AC$ и $AD$, $\angle BAC = \angle BAD$.
Решение:
1. Рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle AOD$.
2. $AO$ - общая сторона.
3. $OC = OD$ как радиусы окружности.
4. $\angle BAC = \angle BAD$ (по условию).
5. $\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC$ и $\angle AOD = 2 \cdot \angle ABD$.
6. Так как $\angle BAC = \angle BAD$, то дуги $BC$ и $BD$ равны.
7. Следовательно, $\angle BOC = \angle BOD$.
8. Рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle AOD$: $AO$ - общая, $OC = OD$ (радиусы), $\angle AOC = \angle AOD$.
9. Следовательно, $\triangle AOC = \triangle AOD$ по двум сторонам и углу между ними.
10. Из равенства треугольников следует, что $AC = AD$.
Ответ: $AC = AD$.

4.
Дано: Боковая сторона и медиана, проведённая к ней.
Решение:
1. Строим отрезок, равный боковой стороне.
2. От середины отрезка откладываем медиану под произвольным углом.
3. Из конца медианы проводим окружность радиусом, равным боковой стороне.
4. Точка пересечения окружности и продолжения отрезка, равного боковой стороне, является третьей вершиной треугольника.
Ответ: Построен равнобедренный треугольник по боковой стороне и медиане, проведённой к ней.

5.
Дано: Окружность и две точки вне её.
Решение:
1. Соединяем две данные точки отрезком.
2. Строим серединный перпендикуляр к этому отрезку.
3. Серединный перпендикуляр пересекает окружность в одной или двух точках, или не пересекает её вообще.
4. Если серединный перпендикуляр пересекает окружность, то точки пересечения являются искомыми, так как они равноудалены от двух данных точек.
5. Если серединный перпендикуляр не пересекает окружность, то задача не имеет решений.
Ответ: Задача может иметь 0, 1 или 2 решения.