Дано: Треугольник $ABC$ на клетчатой бумаге с размером клетки 1x1. Необходимо найти длину медианы, выходящей из вершины $B$.

Решение:
1. Определим координаты вершин треугольника $ABC$ по рисунку. Примем точку $A$ за начало координат $(0, 0)$. Тогда координаты вершин будут: $A(0, 0)$, $B(1, 4)$, $C(5, 0)$.
2. Найдем координаты точки $M$ - середины отрезка $AC$. Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат концов отрезка:
$$M_x = \frac{A_x + C_x}{2} = \frac{0 + 5}{2} = 2.5$$
$$M_y = \frac{A_y + C_y}{2} = \frac{0 + 0}{2} = 0$$
Таким образом, координаты точки $M(2.5, 0)$.
3. Найдем длину медианы $BM$. Длина отрезка между двумя точками на плоскости вычисляется по формуле:
$$BM = \sqrt{(M_x - B_x)^2 + (M_y - B_y)^2}$$
$$BM = \sqrt{(2.5 - 1)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{(1.5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{2.25 + 16} = \sqrt{18.25} = \sqrt{\frac{73}{4}} = \frac{\sqrt{73}}{2}$$
4. Приближенное значение $\sqrt{73} \approx 8.54$. Тогда $BM \approx \frac{8.54}{2} \approx 4.27$.
5. Поскольку на клетчатой бумаге сложно точно измерить длину, выразим ответ в виде $\frac{\sqrt{73}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{73}}{2}$