Задание без номера (вверху страницы)

Дано: Прямоугольник двумя прямолинейными разрезами разбит на четыре малых прямоугольника. Периметры трех из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 13, 17 и 19. Найти периметр четвертого прямоугольника.

Решение:
1. Обозначим ширину левой и правой колонок прямоугольников как x1 и x2, а высоту верхней и нижней строк как y1 и y2.
2. Тогда периметры четырех малых прямоугольников выражаются следующими формулами:
Левый верхний: P11 = 2(x1 + y1) = 13
Правый верхний: P12 = 2(x2 + y1) = 17
Правый нижний: P22 = 2(x2 + y2) = 19
Левый нижний: P21 = 2(x1 + y2)
3. Заметим, что сумма периметров противоположных по диагонали прямоугольников равна:
P11 + P22 = 2(x1 + y1) + 2(x2 + y2) = 2(x1 + y2) + 2(x2 + y1) = P21 + P12
4. Подставим известные значения:
13 + 19 = P21 + 17
32 = P21 + 17
P21 = 15

Ответ: Д (15)

Задание 17

Дано: Найти корень уравнения $\log_{\frac{1}{2}}(2x + 5) - \log_{\frac{1}{2}}13 = \log_{\frac{1}{2}}5$.

Решение:
1. Запишем область допустимых значений (ОДЗ) для аргумента логарифма:
2x + 5 > 0
2. Используем свойство разности логарифмов в левой части уравнения:
$$ \log_{\frac{1}{2}}\frac{2x + 5}{13} = \log_{\frac{1}{2}}5 $$
3. Так как основания логарифмов равны, приравняем их аргументы:
$$ \frac{2x + 5}{13} = 5 $$
4. Умножим обе части уравнения на 13:
2x + 5 = 65
5. Перенесем 5 в правую часть:
2x = 60
6. Разделим на 2:
x = 30
7. Проверим ОДЗ: при x = 30 значение 2x + 5 = 65 > 0, условие выполняется.

Ответ: Б (30)

Задание 18

Дано: С двух участков собрали 14,7 ц зерна. На следующий год урожай на первом участке повысился на 80%, а на втором - на 24%, благодаря чему собрали 21,42 ц зерна. Сколько центнеров зерна собирают с каждого участка после применения новых методов?

Решение:
1. Пусть x - первоначальный сбор с первого участка (в ц), а y - со второго участка (в ц).
2. Составим первое уравнение по условию задачи:
x + y = 14,7
3. После повышения урожайности сбор с первого участка составил 1,8x, а со второго - 1,24y. Составим второе уравнение:
1,8x + 1,24y = 21,42
4. Выразим y через x из первого уравнения:
y = 14,7 - x
5. Подставим это выражение во второе уравнение:
1,8x + 1,24(14,7 - x) = 21,42
6. Раскроем скобки:
1,8x + 18,228 - 1,24x = 21,42
7. Приведем подобные слагаемые:
0,56x = 21,42 - 18,228
0,56x = 3,192
8. Найдем x:
x = 5,7
9. Найдем y:
y = 14,7 - 5,7 = 9
10. Вычислим новый урожай для каждого участка:
Первый участок: $1,8 \cdot 5,7 = 10,26$ ц
Второй участок: $1,24 \cdot 9 = 11,16$ ц

Ответ: А (10,26 и 11,16)

Задание 19

Дано: Вычислить значение выражения $\frac{\sin\alpha \cos\alpha}{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}$, если $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{3}{4}$.

Решение:
1. Разделим числитель и знаменатель дроби на $\sin^2\alpha$:
$$ \frac{\frac{\sin\alpha \cos\alpha}{\sin^2\alpha}}{\frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}} = \frac{\operatorname{ctg}\alpha}{1 - \operatorname{ctg}^2\alpha} $$
2. Подставим значение $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{3}{4}$ в полученное выражение:
$$ \frac{\frac{3}{4}}{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2} $$
3. Выполним вычисления в знаменателе:
$$ 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} $$
4. Найдем значение всей дроби:
$$ \frac{\frac{3}{4}}{\frac{7}{16}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{7} = \frac{12}{7} $$

Ответ: А (12/7)

Задание 20

Дано: Найти значение выражения $49^{\log_7 2 - \frac{1}{2}\log_{49} 64}$.

Решение:
1. Преобразуем показатель степени. Сначала упростим второй логарифм, используя свойства логарифма:
$$ \log_{49} 64 = \log_{7^2} 2^6 = \frac{6}{2} \log_7 2 = 3\log_7 2 $$
2. Подставим это значение в показатель степени:
$$ \log_7 2 - \frac{1}{2} \cdot 3\log_7 2 = \log_7 2 - 1,5\log_7 2 = -0,5\log_7 2 = \log_7 2^{-0,5} $$
3. Теперь возведем 49 в полученную степень:
$$ 49^{\log_7 2^{-0,5}} = (7^2)^{\log_7 2^{-0,5}} = 7^{2\log_7 2^{-0,5}} = 7^{\log_7 (2^{-0,5})^2} = 7^{\log_7 2^{-1}} $$
4. Используя основное логарифмическое тождество, получаем:
$$ 7^{\log_7 2^{-1}} = 2^{-1} $$

Ответ: Б (2^{-1})

Задание 21

Дано: Результаты прыжков в высоту: 90, 125, 125, 130, 130, 135, 135, 135, 140, 140, 140, 140. Найти медиану совокупности данных.

Решение:
1. Данный ряд уже упорядочен по возрастанию. Количество элементов в ряду равно 12 (четное число).
2. Для четного количества элементов медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов (стоящих на 6-м и 7-м местах).
3. Найдем эти элементы:
6-й элемент равен 135.
7-й элемент равен 135.
4. Вычислим медиану:
(135 + 135) / 2 = 135

Ответ: В (135)

Задание 22

Дано: Найти корень уравнения $\sqrt{-16 - 8x} = 4$.

Решение:
1. Возведем обе части уравнения в квадрат:
-16 - 8x = 16
2. Перенесем -16 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
-8x = 16 + 16
-8x = 32
3. Разделим обе части на -8:
x = -4
4. Выполним проверку, подставив найденный корень в исходное уравнение:
$$ \sqrt{-16 - 8 \cdot (-4)} = \sqrt{-16 + 32} = \sqrt{16} = 4 $$
Равенство верно.

Ответ: В (-4)

Задание 23

Дано: Упростить выражение $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$.

Решение:
1. Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата. Попробуем выделить квадрат разности:
$$ 7 - 4\sqrt{3} = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2 - \sqrt{3})^2 $$
2. Подставим это выражение под корень:
$$ \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} $$
3. Используем свойство корня $\sqrt{a^2} = |a|$:
$$ \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = |2 - \sqrt{3}| $$
4. Так как $2 = \sqrt{4} > \sqrt{3}$, то разность $2 - \sqrt{3}$ положительна, следовательно:
$$ |2 - \sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3} $$

Ответ: Г (2 - \sqrt{3})