Дано:
Решить дифференциальное уравнение $y'' - 4y' + 13y = 0$ с начальными условиями $y(0) = 0$ и $y'(0) = 6$.

Решение:
1. Составим характеристическое уравнение:
$$k^2 - 4k + 13 = 0$$

2. Найдем корни характеристического уравнения:
$$k = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 52}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{4 \pm 6i}{2} = 2 \pm 3i$$
Итак, $k_1 = 2 + 3i$ и $k_2 = 2 - 3i$.

3. Запишем общее решение дифференциального уравнения:
$$y(x) = e^{2x}(C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x))$$

4. Найдем первую производную $y'(x)$:
$$y'(x) = 2e^{2x}(C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x)) + e^{2x}(-3C_1 \sin(3x) + 3C_2 \cos(3x))$$
$$y'(x) = e^{2x}((2C_1 + 3C_2) \cos(3x) + (2C_2 - 3C_1) \sin(3x))$$

5. Используем начальные условия $y(0) = 0$ и $y'(0) = 6$:
$$y(0) = e^{2 \cdot 0}(C_1 \cos(3 \cdot 0) + C_2 \sin(3 \cdot 0)) = 1(C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0) = C_1 = 0$$
$$y'(0) = e^{2 \cdot 0}((2C_1 + 3C_2) \cos(3 \cdot 0) + (2C_2 - 3C_1) \sin(3 \cdot 0)) = 1((2C_1 + 3C_2) \cdot 1 + (2C_2 - 3C_1) \cdot 0) = 2C_1 + 3C_2 = 6$$

6. Решим систему уравнений:
$$C_1 = 0$$
$$2C_1 + 3C_2 = 6$$
Подставляем $C_1 = 0$ во второе уравнение:
$$2 \cdot 0 + 3C_2 = 6$$
$$3C_2 = 6$$
$$C_2 = 2$$

7. Запишем частное решение дифференциального уравнения:
$$y(x) = e^{2x}(0 \cdot \cos(3x) + 2 \cdot \sin(3x)) = 2e^{2x} \sin(3x)$$

Ответ:
$$y(x) = 2e^{2x} \sin(3x)$$