Дано: Необходимо указать, по какой из представленных формул вычисляется случайная погрешность в определении некоторой физической величины $x$.

Решение:
1. Рассмотрим предложенные варианты формул.
2. Формула 1: $\Delta_x = \sqrt{\theta_x^2 + \varepsilon_x^2}$ - эта формула представляет собой комбинацию случайной и систематической погрешностей, где $\Delta_x$ - общая погрешность, $\theta_x$ - случайная погрешность, а $\varepsilon_x$ - систематическая погрешность.
3. Формула 2: $\theta_{осн} = x_{max} \frac{\delta}{100}$ - эта формула, вероятно, описывает основную погрешность, пропорциональную максимальному значению измеряемой величины и некоторой относительной погрешности $\delta$.
4. Формула 4: $\varepsilon_x = t_{p,n} \cdot S_{\langle x \rangle}$ - эта формула описывает случайную погрешность, где $\varepsilon_x$ - случайная погрешность, $t_{p,n}$ - коэффициент Стьюдента, а $S_{\langle x \rangle}$ - стандартное отклонение среднего значения.
5. Формула 8: $S_{(x)} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \langle x \rangle)^2}{n(n-1)}}$ - эта формула представляет собой оценку стандартного отклонения среднего значения, где $x_i$ - отдельные измерения, $\langle x \rangle$ - среднее значение, а $n$ - количество измерений. Эта формула непосредственно связана с вычислением случайной погрешности.

Сравнивая предложенные формулы, наиболее подходящей для вычисления случайной погрешности является формула 8, так как она напрямую вычисляет стандартное отклонение среднего, которое является мерой разброса данных относительно среднего значения и, следовательно, характеризует случайную погрешность. Формула 4 также описывает случайную погрешность, но она использует коэффициент Стьюдента и стандартное отклонение среднего, в то время как формула 8 непосредственно вычисляет стандартное отклонение среднего.

Ответ: 8