Дано:

Задача 1. Исследовать на сходимость числовые ряды с положительными членами:
а) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n^2 - 5}{4n^3 (2n - 3)}$
б) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+1)}{3^n}$
в) $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{3n^2 - n - 1}{7n^2 + 3n + 4}\right)^n$

Задача 2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость числовой ряд:
$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{5^{2n-1}}{n!}$

Задача 3. Найти область сходимости функционального ряда:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+3)^{2n}}{2n+1}$

Задача 4. Разложить в ряд Тейлора функцию $f(x) = \frac{1}{x+3}$ по степеням (x+1) и найти его область сходимости.

Решение:

1. Решаем задачу 1, пункт а.
Исследуем на сходимость ряд:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n^2 - 5}{4n^3 (2n - 3)}$$
Для исследования сходимости ряда с положительными членами (при n >= 2 члены ряда положительны) применим предельный признак сравнения.
Сравним данный ряд с эталонным обобщенным гармоническим рядом:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$$
который сходится, так как показатель степени p = 2 > 1.
Найдем предел отношения общих членов рядов при n стремящемся к бесконечности:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3n^2 - 5}{4n^3 (2n - 3)}}{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(3n^2 - 5) \cdot n^2}{4n^3 (2n - 3)} = \lim_{n \to \infty} \frac{3n^4 - 5n^2}{8n^4 - 12n^3} = \frac{3}{8}$$
Так как предел равен конечному числу, отличному от нуля, то по предельному признаку сравнения исходный ряд сходится.

2. Решаем задачу 1, пункт б.
Исследуем на сходимость ряд:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+1)}{3^n}$$
Применим признак Даламбера. Запишем общий член ряда и следующий за ним член:
$$a_n = \frac{n(n+1)}{3^n}$$
$$a_{n+1} = \frac{(n+1)(n+2)}{3^{n+1}}$$
Найдем предел отношения:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{(n+1)(n+2)}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{n(n+1)} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{n+2}{3n} = \frac{1}{3}$$
Так как полученный предел меньше 1, то по признаку Даламбера ряд сходится.

3. Решаем задачу 1, пункт в.
Исследуем на сходимость ряд:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{3n^2 - n - 1}{7n^2 + 3n + 4}\right)^n$$
Применим радикальный признак Коши. Найдем предел:
$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 - n - 1}{7n^2 + 3n + 4} = \frac{3}{7}$$
Так как полученный предел меньше 1, то по радикальному признаку Коши ряд сходится.

4. Решаем задачу 2.
Исследуем на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд:
$$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{5^{2n-1}}{n!}$$
Сначала исследуем ряд на абсолютную сходимость. Для этого рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^{2n-1}}{n!}$$
Применим признак Даламбера для этого ряда с положительными членами:
$$u_n = \frac{5^{2n-1}}{n!}$$
$$u_{n+1} = \frac{5^{2n+1}}{(n+1)!}$$
Вычислим предел отношения:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{5^{2n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{5^{2n-1}} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{5^2}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{25}{n+1} = 0$$
Так как предел равен 0, что меньше 1, то ряд из абсолютных величин сходится.
Следовательно, исходный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

5. Решаем задачу 3.
Найдем область сходимости функционального ряда:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+3)^{2n}}{2n+1}$$
Сделаем замену переменной: t = (x+3)². Тогда ряд примет вид степенного ряда:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{2n+1}$$
Найдем радиус сходимости R полученного степенного ряда по формуле:
$$R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right|$$
где $c_n = \frac{1}{2n+1}$.
$$R = \lim_{n \to \infty} \frac{2n+3}{2n+1} = 1$$
Следовательно, ряд сходится при |t| < 1.
Возвращаясь к исходной переменной, получаем неравенство:
(x+3)² < 1
|x+3| < 1
-1 < x+3 < 1
-4 < x < -2
Исследуем сходимость ряда на концах интервала:
При x = -2 и x = -4 значение (x+3)² = 1. В обоих случаях получаем числовой ряд:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n+1}$$
Сравним этот ряд с расходящимся гармоническим рядом $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ с помощью предельного признака сравнения:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{2n+1}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2n+1} = \frac{1}{2}$$
Так как предел конечен и отличен от нуля, ряд расходится на обоих концах интервала.
Таким образом, область сходимости функционального ряда: (-4, -2).

6. Решаем задачу 4.
Разложим в ряд Тейлора функцию $f(x) = \frac{1}{x+3}$ по степеням (x+1).
Для этого сделаем замену переменной: t = x + 1, откуда x = t - 1.
Подставим x в выражение для функции:
$$f(x) = \frac{1}{(t-1)+3} = \frac{1}{t+2} = \frac{1}{2 \left(1 + \frac{t}{2}\right)}$$
Используем стандартное разложение в степенной ряд для функции $\frac{1}{1-u}$:
$$\frac{1}{1-u} = \sum_{n=0}^{\infty} u^n \quad \text{при } |u| < 1$$
В нашем случае $u = -\frac{t}{2}$. Получаем:
$$f(x) = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left(-\frac{t}{2}\right)^n = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{t^n}{2^n} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{t^n}{2^{n+1}}$$
Возвращаясь к переменной x, получаем искомое разложение:
$$\frac{1}{x+3} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(x+1)^n}{2^{n+1}}$$
Данное разложение справедливо при условии:
$$\left|-\frac{t}{2}\right| < 1 \implies |t| < 2 \implies |x+1| < 2$$
Раскрывая модуль, находим область сходимости:
-2 < x+1 < 2
-3 < x < 1
Таким образом, область сходимости ряда: (-3, 1).

Ответ:

Задача 1:
а) ряд сходится;
б) ряд сходится;
в) ряд сходится.

Задача 2: ряд сходится абсолютно.

Задача 3: область сходимости ряда: (-4, -2).

Задача 4: разложение функции в ряд Тейлора:
$$\frac{1}{x+3} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(x+1)^n}{2^{n+1}}$$
область сходимости ряда: (-3, 1).