Дано:
1. Центральный угол на 32° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.
2. Векторы $\vec{a}(10; 5)$ и $\vec{b}(-7; 5)$.
3. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $5\sqrt{2}$.
4. Вероятность того, что учащийся А верно решит больше четырёх задач, равна 0.73. Вероятность того, что А верно решит больше трёх задач, равна 0.86.
5. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0.7.
6. Уравнение $\sqrt{9x - 17} = 4$.
7. Выражение $8 \log_5 \sqrt[4]{5}$.

Решение:
1. Пусть вписанный угол равен $x$. Тогда центральный угол равен $x + 32$. Известно, что центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Следовательно, $x + 32 = 2x$.
2. Решаем уравнение: $2x - x = 32$, $x = 32$.
3. Скалярное произведение векторов $\vec{a}(10; 5)$ и $\vec{b}(-7; 5)$ равно: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 10 \cdot (-7) + 5 \cdot 5 = -70 + 25 = -45$.
4. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $2 \pi r h$, где $r$ - радиус основания, $h$ - высота. По условию $h = r$, следовательно, $2 \pi r^2 = 5\sqrt{2}$. Отсюда $\pi r^2 = \frac{5\sqrt{2}}{2}$.
5. Площадь боковой поверхности конуса равна $\pi r l$, где $l$ - образующая конуса. Так как $h = r$, то $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{r^2 + r^2} = \sqrt{2r^2} = r\sqrt{2}$.
6. Площадь боковой поверхности конуса равна $\pi r (r\sqrt{2}) = \pi r^2 \sqrt{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$.
7. Вероятность того, что А верно решит ровно 4 задачи, равна разности вероятностей того, что А верно решит больше трёх задач и больше четырёх задач: $0.86 - 0.73 = 0.13$.
8. Вероятность того, что стрелок попадет в две первые мишени и не попадет в две последние, равна $0.7 \cdot 0.7 \cdot (1 - 0.7) \cdot (1 - 0.7) = 0.7 \cdot 0.7 \cdot 0.3 \cdot 0.3 = 0.49 \cdot 0.09 = 0.0441$.
9. Решаем уравнение $\sqrt{9x - 17} = 4$. Возводим обе части в квадрат: $9x - 17 = 16$.
10. $9x = 16 + 17 = 33$.
11. $x = \frac{33}{9} = \frac{11}{3}$.
12. Преобразуем выражение $8 \log_5 \sqrt[4]{5} = 8 \log_5 5^{\frac{1}{4}} = 8 \cdot \frac{1}{4} \log_5 5 = 8 \cdot \frac{1}{4} \cdot 1 = 2$.

Ответ:
1. 32
2. -45
3. 5
4. 0.13
5. 0.0441
6. $\frac{11}{3}$
7. 2