Дано:
Контрольная работа № 3 по теме «Геометрическая оптика»
Вариант 1

№1 Дерево высотой $h = 5$ метров. Угол падения солнечных лучей $40^\circ$.

№2 Предмет ABC в плоском зеркале MN. Точка S.

№3 Луч света из воздуха переходит в стекло. Угол падения $30^\circ$. Угол преломления $50^\circ$.

№4 Построение изображения предмета AB в собирающей линзе и точки S в рассеивающей линзе.

№5 Предмет находится на расстоянии $d = 30$ см от собирающей линзы с фокусным расстоянием $F = 25$ см.

Решение:

Вариант 1

№1
1.  Угол падения солнечных лучей $40^\circ$ означает, что угол между лучом и нормалью к поверхности равен $40^\circ$. Угол, который солнечные лучи образуют с горизонтальной поверхностью (угол возвышения Солнца), равен $90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$.
2.  Пусть $h$ — высота дерева, а $L$ — длина тени. Высота дерева является противолежащим катетом, а длина тени — прилежащим катетом в прямоугольном треугольнике, образованном деревом, его тенью и солнечным лучом. Угол при основании этого треугольника равен углу возвышения Солнца, то есть $50^\circ$.
3.  Используем тангенс угла: $\tan(\alpha) = \frac{h}{L}$, где $\alpha = 50^\circ$.
4.  Выразим длину тени: $L = \frac{h}{\tan(\alpha)}$.
5.  Подставим известные значения: $L = \frac{5 \text{ м}}{\tan(50^\circ)}$.
6.  Найдем значение $\tan(50^\circ) \approx 1.1918$.
7.  Вычислим длину тени: $L \approx \frac{5 \text{ м}}{1.1918} \approx 4.195$ м.

Ответ: Длина тени составляет приблизительно 4.2 метра.

№2
1.  Построение изображения предмета ABC в плоском зеркале MN:
    *   Для каждой точки предмета (A, B, C) строится ее изображение за зеркалом.
    *   Изображение точки получается путем проведения перпендикуляра из точки предмета к плоскости зеркала и откладывания от зеркала такого же расстояния по перпендикуляру в другую сторону.
    *   Изображение предмета ABC будет симметрично предмету относительно плоскости зеркала. Если предмет ABC — треугольник, то его изображение A'B'C' также будет треугольником, расположенным на таком же расстоянии за зеркалом, как и сам предмет перед ним. Изображение будет мнимым, прямым и равным по размеру предмету.
2.  Определение области видения точки S в зеркале MN:
    *   Область видения точки S в зеркале MN — это часть зеркала, через которую точка S может наблюдать определенный объект (или часть объекта). Если же имеется в виду область пространства, которую точка S может видеть в зеркале, то это будет область, ограниченная лучами, исходящими из S, отраженными от краев зеркала и идущими к наблюдателю (или к глазу S).
    *   В данном контексте, скорее всего, имеется в виду область зеркала, через которую точка S может видеть некий объект, находящийся перед зеркалом. Для определения этой области нужно провести два луча из точки S, которые касаются краев зеркала MN. Отраженные от этих краев лучи будут определять границы поля зрения. Однако, поскольку объект не задан, а только точка S и зеркало, задача может быть сформулирована некорректно или требовать построения поля зрения для некоторого гипотетического объекта.
    *   Если же имеется в виду область пространства, которую точка S может наблюдать в зеркале, то нужно провести лучи из S, которые падают на края зеркала и отражаются. Область, из которой эти отраженные лучи исходят (за зеркалом), и будет видимой областью для S.
    *   Без дополнительной информации об объекте или контексте, точное построение области видения затруднительно. Если предположить, что S — это наблюдатель, то для определения области видения объекта, нужно провести лучи от S к краям зеркала, а затем продолжить их за зеркало. Область, которую S видит в зеркале, будет определяться этими лучами.

Ответ: Построение изображения предмета ABC в плоском зеркале MN осуществляется путем построения симметричных точек A'B'C' относительно плоскости зеркала. Определение области видения точки S требует уточнения, что именно должно быть видно в зеркале.

№3
1.  Для определения угла преломления воспользуемся законом Снеллиуса (законом преломления света): $n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)$, где $n_1$ — показатель преломления первой среды (воздуха), $\theta_1$ — угол падения, $n_2$ — показатель преломления второй среды (стекла), $\theta_2$ — угол преломления.
2.  Показатель преломления воздуха $n_1 \approx 1$.
3.  Угол падения $\theta_1 = 30^\circ$.
4.  Показатель преломления стекла $n_2 = 1.6$.
5.  Подставим известные значения в закон Снеллиуса: $1 \cdot \sin(30^\circ) = 1.6 \cdot \sin(\theta_2)$.
6.  Известно, что $\sin(30^\circ) = 0.5$.
7.  Получаем уравнение: $0.5 = 1.6 \cdot \sin(\theta_2)$.
8.  Найдем синус угла преломления: $\sin(\theta_2) = \frac{0.5}{1.6} = \frac{5}{16} = 0.3125$.
9.  Найдем угол преломления, взяв арксинус от полученного значения: $\theta_2 = \arcsin(0.3125)$.
10. Вычислим значение угла: $\theta_2 \approx 18.26^\circ$.

Ответ: Угол преломления составляет приблизительно $18.26^\circ$.

№4
1.  Построение изображения предмета AB в собирающей линзе:
    *   Предмет AB расположен перед собирающей линзой. На рисунке показано, что предмет находится между оптической осью и фокусом (F).
    *   Для построения изображения точки B (верхней точки предмета) проведем два луча:
        *   Луч, идущий параллельно главной оптической оси, после преломления в линзе пройдет через фокус F.
        *   Луч, идущий через оптический центр линзы, пройдет не преломляясь.
    *   Точка пересечения этих преломленных лучей (или их продолжений) даст изображение точки B'. Изображение точки A будет лежать на главной оптической оси.
    *   Поскольку предмет находится между оптическим центром и фокусом ($d < F$), изображение будет мнимым, увеличенным и расположенным по ту же сторону от линзы, что и предмет.
2.  Построение точки S в рассеивающей линзе:
    *   На рисунке показана рассеивающая линза, главная оптическая ось, фокусы F и 2F. Точка S расположена перед линзой.
    *   Для построения изображения точки S проведем два луча:
        *   Луч, идущий параллельно главной оптической оси, после преломления в рассеивающей линзе будет рассеиваться так, что его продолжение за линзой пройдет через фокус F, расположенный на той же стороне, что и предмет.
        *   Луч, идущий через оптический центр линзы, пройдет не преломляясь.
    *   Точка пересечения продолжений преломленных лучей даст изображение точки S'. Изображение в рассеивающей линзе всегда будет мнимым, прямым и уменьшенным, расположенным между линзой и фокусом.

Ответ: Построение изображений выполнено согласно правилам построения для собирающей и рассеивающей линз.

№5
1.  Дано: расстояние от предмета до собирающей линзы $d = 30$ см, фокусное расстояние линзы $F = 25$ см.
2.  Используем формулу тонкой линзы: $\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$, где $f$ — расстояние от изображения до линзы.
3.  Выразим расстояние до изображения $f$: $\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d}$.
4.  Подставим известные значения: $\frac{1}{f} = \frac{1}{25 \text{ см}} - \frac{1}{30 \text{ см}}$.
5.  Приведем дроби к общему знаменателю (150): $\frac{1}{f} = \frac{6}{150 \text{ см}} - \frac{5}{150 \text{ см}}$.
6.  Вычислим: $\frac{1}{f} = \frac{1}{150 \text{ см}}$.
7.  Найдем расстояние до изображения: $f = 150$ см.
8.  Так как $d = 30$ см и $F = 25$ см, то $d > F$. В этом случае изображение будет действительным, перевернутым и увеличенным. Расстояние $f = 150$ см подтверждает, что изображение действительное (положительное значение $f$).

Ответ: Расстояние от изображения до линзы составляет 150 см.