Дано: Решить уравнение $\sqrt{x} = x - 6$.
Решение:
1. Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.
   Под корнем квадратным должно быть неотрицательное число, то есть $x \ge 0$.
   Также, правая часть уравнения $x - 6$ должна быть неотрицательной, так как она равна значению квадратного корня, которое всегда неотрицательно. То есть $x - 6 \ge 0$, откуда $x \ge 6$.
   Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \ge 6$.

2. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
   $(\sqrt{x})^2 = (x - 6)^2$
   $x = x^2 - 12x + 36$

3. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
   $x^2 - 12x - x + 36 = 0$
   $x^2 - 13x + 36 = 0$

4. Решим квадратное уравнение $x^2 - 13x + 36 = 0$ с помощью дискриминанта.
   Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
   В нашем случае $a = 1$, $b = -13$, $c = 36$.
   $D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36$
   $D = 169 - 144$
   $D = 25$

5. Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
   $x_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9$
   $x_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{13 - 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$

6. Проверим полученные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 6$):
   Для $x_1 = 9$: $9 \ge 6$. Этот корень подходит.
   Для $x_2 = 4$: $4 < 6$. Этот корень не подходит, так как нарушает условие $x - 6 \ge 0$.

7. Выполним проверку для $x_1 = 9$ в исходном уравнении:
   $\sqrt{9} = 9 - 6$
   $3 = 3$
   Верно.

8. Выполним проверку для $x_2 = 4$ в исходном уравнении:
   $\sqrt{4} = 4 - 6$
   $2 = -2$
   Неверно.

Таким образом, единственным корнем уравнения является $x = 9$.
Ответ: 9