Дано: Найти интегралы.

Решение:

1.  $\int (x^3 + e^x)dx$
    1.  Используем свойство линейности интеграла: $\int (f(x) + g(x))dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx$.
    2.  $\int x^3 dx + \int e^x dx$
    3.  Используем формулы интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ и экспоненциальной функции $\int e^x dx = e^x + C$.
    4.  $\frac{x^{3+1}}{3+1} + e^x + C = \frac{x^4}{4} + e^x + C$.
    Ответ: $\frac{x^4}{4} + e^x + C$.

2.  $\int (\frac{2}{x} + 3e^x + 5 - x^3)dx$
    1.  Используем свойство линейности интеграла: $\int (f(x) + g(x) - h(x))dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx - \int h(x)dx$.
    2.  $\int \frac{2}{x} dx + \int 3e^x dx + \int 5 dx - \int x^3 dx$
    3.  Выносим константы за знак интеграла: $2 \int \frac{1}{x} dx + 3 \int e^x dx + 5 \int dx - \int x^3 dx$.
    4.  Используем формулы интегрирования: $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$, $\int e^x dx = e^x + C$, $\int dx = x + C$, $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
    5.  $2 \ln|x| + 3e^x + 5x - \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = 2 \ln|x| + 3e^x + 5x - \frac{x^4}{4} + C$.
    Ответ: $2 \ln|x| + 3e^x + 5x - \frac{x^4}{4} + C$.

3.  $\int (\frac{1}{x^3} - \frac{3}{x^2} + \frac{7}{\sqrt{x}})dx$
    1.  Перепишем подынтегральное выражение, используя свойства степеней: $x^{-3} - 3x^{-2} + 7x^{-1/2}$.
    2.  Используем свойство линейности интеграла: $\int x^{-3} dx - \int 3x^{-2} dx + \int 7x^{-1/2} dx$.
    3.  Выносим константы за знак интеграла: $\int x^{-3} dx - 3 \int x^{-2} dx + 7 \int x^{-1/2} dx$.
    4.  Используем формулу интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
    5.  $\frac{x^{-3+1}}{-3+1} - 3 \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + 7 \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C$.
    6.  $\frac{x^{-2}}{-2} - 3 \frac{x^{-1}}{-1} + 7 \frac{x^{1/2}}{1/2} + C$.
    7.  $-\frac{1}{2x^2} + \frac{3}{x} + 14\sqrt{x} + C$.
    Ответ: $-\frac{1}{2x^2} + \frac{3}{x} + 14\sqrt{x} + C$.

4.  $\int \frac{x^4 + 5x^3 + 2}{2x}dx$
    1.  Разделим числитель на знаменатель: $\int (\frac{x^4}{2x} + \frac{5x^3}{2x} + \frac{2}{2x})dx$.
    2.  Упростим выражение: $\int (\frac{1}{2}x^3 + \frac{5}{2}x^2 + \frac{1}{x})dx$.
    3.  Используем свойство линейности интеграла: $\frac{1}{2} \int x^3 dx + \frac{5}{2} \int x^2 dx + \int \frac{1}{x} dx$.
    4.  Используем формулы интегрирования: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ и $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$.
    5.  $\frac{1}{2} \frac{x^{3+1}}{3+1} + \frac{5}{2} \frac{x^{2+1}}{2+1} + \ln|x| + C$.
    6.  $\frac{1}{2} \frac{x^4}{4} + \frac{5}{2} \frac{x^3}{3} + \ln|x| + C$.
    7.  $\frac{x^4}{8} + \frac{5x^3}{6} + \ln|x| + C$.
    Ответ: $\frac{x^4}{8} + \frac{5x^3}{6} + \ln|x| + C$.

5.  $\int \frac{2^x + 3^x}{6^x}dx$
    1.  Разделим числитель на знаменатель: $\int (\frac{2^x}{6^x} + \frac{3^x}{6^x})dx$.
    2.  Упростим выражение, используя свойство степеней $(\frac{a}{b})^x = \frac{a^x}{b^x}$: $\int ((\frac{2}{6})^x + (\frac{3}{6})^x)dx$.
    3.  $\int ((\frac{1}{3})^x + (\frac{1}{2})^x)dx$.
    4.  Используем свойство линейности интеграла: $\int (\frac{1}{3})^x dx + \int (\frac{1}{2})^x dx$.
    5.  Используем формулу интегрирования показательной функции $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$.
    6.  $\frac{(1/3)^x}{\ln(1/3)} + \frac{(1/2)^x}{\ln(1/2)} + C$.
    7.  $\frac{3^{-x}}{-\ln 3} + \frac{2^{-x}}{-\ln 2} + C = -\frac{3^{-x}}{\ln 3} - \frac{2^{-x}}{\ln 2} + C$.
    Ответ: $-\frac{3^{-x}}{\ln 3} - \frac{2^{-x}}{\ln 2} + C$.

6.  $\int \frac{2x - 8x^2 + 5x^3}{\sqrt{x}}dx$
    1.  Перепишем знаменатель как $x^{1/2}$.
    2.  Разделим числитель на знаменатель: $\int (\frac{2x}{x^{1/2}} - \frac{8x^2}{x^{1/2}} + \frac{5x^3}{x^{1/2}})dx$.
    3.  Упростим выражение, используя свойство степеней $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$: $\int (2x^{1 - 1/2} - 8x^{2 - 1/2} + 5x^{3 - 1/2})dx$.
    4.  $\int (2x^{1/2} - 8x^{3/2} + 5x^{5/2})dx$.
    5.  Используем свойство линейности интеграла: $2 \int x^{1/2} dx - 8 \int x^{3/2} dx + 5 \int x^{5/2} dx$.
    6.  Используем формулу интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \