Дано: Треугольник $ABC$ на клетчатой бумаге с размером клетки 1x1.

Решение:
1. Определим координаты вершин треугольника $ABC$. Примем точку $A$ за начало координат $(0, 0)$. Тогда координаты остальных вершин: $B(1, 4)$ и $C(5, 0)$.
2. Найдем координаты точки $M$ - середины отрезка $AC$. Координаты середины отрезка находятся как среднее арифметическое координат концов:
$$M_x = \frac{A_x + C_x}{2} = \frac{0 + 5}{2} = 2.5$$
$$M_y = \frac{A_y + C_y}{2} = \frac{0 + 0}{2} = 0$$
Таким образом, $M(2.5, 0)$.
3. Найдем длину медианы $BM$. Используем формулу расстояния между двумя точками:
$$BM = \sqrt{(M_x - B_x)^2 + (M_y - B_y)^2} = \sqrt{(2.5 - 1)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{(1.5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{2.25 + 16} = \sqrt{18.25} = \sqrt{\frac{73}{4}} = \frac{\sqrt{73}}{2}$$

Ответ: $\frac{\sqrt{73}}{2}$