Дано:
$PM = 3$, $MN = 5$, $PO = 7$.

Решение:
1. Так как через точку $P$ проведены две секущие $PMN$ и $PEF$, то $PM \cdot PN = PE \cdot PF$ (теорема о произведении секущих).
2. Так как $EO = OF = r$, где $r$ - радиус окружности (по построению) и $PO = 7$ (по условию), то $PE = PO - EO = 7 - r$, $PF = PO + OF = 7 + r$.
3. Так как по условию $PM = 3$, $MN = 5$, то $PN = PM + MN = 3 + 5 = 8$.
4. Отсюда, подставив данные из условия и пунктов 3 и 4 в равенство пункта 2, найдём $r$:
$3 \cdot 8 = (7 - r) \cdot (7 + r)$;
$24 = 49 - r^2$;
$r^2 = 49 - 24$;
$r^2 = 25$;
$r = \sqrt{25}$;
$r = 5$.

Ответ: $r = 5$.