Дано:
1.  В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найти вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из России.
2.  В случайном опыте 25 элементарных исходов. Из них событию A благоприятствуют 16, а событию B — 12. Элементарных исходов, благоприятствующих ни одному из событий A и B, нет. Сколько элементарных исходов благоприятствуют событию $A \cup B$?
3.  Симметричный игральный кубик бросили два раза. Известно, что при первом броске выпало больше очков, чем при втором. Какова вероятность того, что в сумме выпало семь очков?

Решение:

Задача 1.
1.  Определим общее количество спортсменов, участвующих в гонках.
    Общее число спортсменов = (спортсмены из России) + (спортсмены из Норвегии) + (спортсмены из Швеции)
    Общее число спортсменов = 11 + 6 + 3 = 20.
2.  Определим количество спортсменов из России.
    Число спортсменов из России = 11.
3.  Поскольку порядок старта определяется жребием, каждый спортсмен имеет равные шансы стартовать первым. Вероятность события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
    Вероятность того, что первым стартует спортсмен из России, равна:
    $P(\text{первый из России}) = \frac{\text{Число спортсменов из России}}{\text{Общее число спортсменов}}$
    $P(\text{первый из России}) = \frac{11}{20}$.

Задача 2.
1.  Определим общее количество элементарных исходов в опыте.
    Общее число исходов $N = 25$.
2.  Определим количество исходов, благоприятствующих событию A.
    Число исходов для A, $|A| = 16$.
3.  Определим количество исходов, благоприятствующих событию B.
    Число исходов для B, $|B| = 12$.
4.  Из условия известно, что элементарных исходов, благоприятствующих ни одному из событий A и B, нет. Это означает, что все 25 исходов либо относятся к A, либо к B, либо к обоим событиям.
    Также сказано, что элементарных исходов, благоприятствующих ни одному из событий A и B, нет. Это означает, что $N = |A \cup B|$.
    Однако, если мы сложим $|A|$ и $|B|$, получим $16 + 12 = 28$, что больше общего числа исходов (25). Это указывает на то, что события A и B не являются несовместными, то есть у них есть общие исходы.
    Формула для числа исходов в объединении двух событий:
    $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$.
    Мы знаем, что $|A \cup B|$ не может превышать общее число исходов $N=25$.
    Из условия "Элементарных исходов, благоприятствующих ни одному из событий A и B, нет" следует, что $N = |A \cup B|$.
    Следовательно, $|A \cup B| = 25$.
    Теперь найдем число общих исходов $|A \cap B|$:
    $25 = 16 + 12 - |A \cap B|$
    $25 = 28 - |A \cap B|$
    $|A \cap B| = 28 - 25 = 3$.
    Таким образом, 3 исхода благоприятствуют обоим событиям A и B.
5.  Нас просят найти, сколько элементарных исходов благоприятствуют событию $A \cup B$.
    Исходя из условия "Элементарных исходов, благоприятствующих ни одному из событий A и B, нет", это означает, что все исходы либо относятся к A, либо к B, либо к обоим. Таким образом, объединение событий A и B охватывает все возможные исходы.
    Следовательно, число элементарных исходов, благоприятствующих событию $A \cup B$, равно общему числу исходов.
    $|A \cup B| = 25$.

Задача 3.
1.  Определим общее количество исходов при броске симметричного игрального кубика два раза.
    Каждый кубик имеет 6 граней (от 1 до 6).
    Общее число исходов = $6 \times 6 = 36$.
    Эти исходы можно представить как пары $(x, y)$, где $x$ — результат первого броска, а $y$ — результат второго броска.
2.  Определим количество исходов, удовлетворяющих условию "при первом броске выпало больше очков, чем при втором". Это будет нашим новым пространством элементарных исходов (условное пространство).
    Перечислим такие пары $(x, y)$, где $x > y$:
    Если $x=2$: $(2,1)$ - 1 исход
    Если $x=3$: $(3,1), (3,2)$ - 2 исхода
    Если $x=4$: $(4,1), (4,2), (4,3)$ - 3 исхода
    Если $x=5$: $(5,1), (5,2), (5,3), (5,4)$ - 4 исхода
    Если $x=6$: $(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5)$ - 5 исходов
    Общее число таких исходов = $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$.
    Это число является знаменателем для нашей условной вероятности.
3.  Из этих 15 исходов найдем те, для которых сумма очков равна семи.
    Нам нужны пары $(x, y)$ такие, что $x > y$ и $x + y = 7$.
    Перечислим пары, сумма которых равна 7: $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$.
    Теперь проверим условие $x > y$ для этих пар:
    $(1,6)$: $1 \ngtr 6$ (не подходит)
    $(2,5)$: $2 \ngtr 5$ (не подходит)
    $(3,4)$: $3 \ngtr 4$ (не подходит)
    $(4,3)$: $4 > 3$ (подходит)
    $(5,2)$: $5 > 2$ (подходит)
    $(6,1)$: $6 > 1$ (подходит)
    Таким образом, есть 3 исхода, которые удовлетворяют обоим условиям: $(4,3), (5,2), (6,1)$.
4.  Вычислим условную вероятность.
    Вероятность того, что сумма равна семи, при условии, что первый бросок больше второго, равна отношению числа исходов, удовлетворяющих обоим условиям, к числу исходов, удовлетворяющих первому условию (первый бросок больше второго).
    $P(\text{сумма=7} | x>y) = \frac{\text{Число исходов, где } x>y \text{ и } x+y=7}{\text{Число исходов, где } x>y}$
    $P(\text{сумма=7} | x>y) = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.

Ответ:
1.  Вероятность того, что первым стартует спортсмен из России, равна $\frac{11}{20}$.
2.  Число элементарных исходов, благоприятствующих событию $A \cup B$, равно 25.
3.  Вероятность того, что в сумме выпало семь очков, при условии, что при первом броске выпало больше очков, чем при втором, равна $\frac{1}{5}$.