Дано: Вариант 2.

1) Радиус основания цилиндра равен 6, высота равна 1. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на $\pi$.
2) Длина окружности основания цилиндра равна 3, высота равна 2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
3) Длина окружности основания цилиндра равна 3. Площадь боковой поверхности равна 9. Найдите высоту цилиндра.
4) Площадь боковой поверхности цилиндра равна $15\pi$, а диаметр основания равен 5. Найдите высоту цилиндра.
5) Площадь боковой поверхности цилиндра равна $12\pi$, а высота 2. Найдите диаметр основания.
6) Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 3. Площадь боковой поверхности призмы равна 144. Найдите высоту цилиндра.
7) Площадь осевого сечения цилиндра равна 9. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на $\pi$.
8) Радиус цилиндра 10 см. Сечение, параллельное оси цилиндра и удаленное от нее на 8 см, имеет форму квадрата. Найти площадь сечения.
9) Радиус основания цилиндра равен 4, образующая равна 6. Найдите диагональ осевого сечения цилиндра.
10) Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 дм и составляет с образующей цилиндра угол $60^\circ$. Найти площадь полной поверхности цилиндра.

Решение:
1.  Площадь боковой поверхности цилиндра равна $S_{бок} = 2\pi r h$, где $r$ - радиус основания, $h$ - высота. В данном случае $r = 6$, $h = 1$.
    $S_{бок} = 2\pi \cdot 6 \cdot 1 = 12\pi$.
    Площадь боковой поверхности, деленная на $\pi$, равна $\frac{12\pi}{\pi} = 12$.

2.  Площадь боковой поверхности цилиндра равна $S_{бок} = Ch$, где $C$ - длина окружности основания, $h$ - высота. В данном случае $C = 3$, $h = 2$.
    $S_{бок} = 3 \cdot 2 = 6$.

3.  Площадь боковой поверхности цилиндра равна $S_{бок} = Ch$. В данном случае $C = 3$, $S_{бок} = 9$.
    $9 = 3h$, следовательно, $h = \frac{9}{3} = 3$.

4.  Площадь боковой поверхности цилиндра равна $S_{бок} = 2\pi r h$. В данном случае $S_{бок} = 15\pi$, диаметр $d = 5$, следовательно, радиус $r = \frac{5}{2} = 2.5$.
    $15\pi = 2\pi \cdot 2.5 \cdot h$.
    $15\pi = 5\pi h$, следовательно, $h = \frac{15\pi}{5\pi} = 3$.

5.  Площадь боковой поверхности цилиндра равна $S_{бок} = 2\pi r h$. В данном случае $S_{бок} = 12\pi$, $h = 2$.
    $12\pi = 2\pi r \cdot 2$.
    $12\pi = 4\pi r$, следовательно, $r = \frac{12\pi}{4\pi} = 3$.
    Диаметр равен $2r = 2 \cdot 3 = 6$.

6.  Правильная четырехугольная призма, описанная около цилиндра, имеет в основании квадрат. Сторона квадрата равна $2r = 2 \cdot 3 = 6$. Площадь боковой поверхности призмы равна $S_{бок призмы} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ - периметр основания, $h$ - высота. В данном случае $S_{бок призмы} = 144$, $P_{осн} = 4 \cdot 6 = 24$.
    $144 = 24h$, следовательно, $h = \frac{144}{24} = 6$.

7.  Площадь осевого сечения цилиндра равна $S_{ос} = 2rh$, где $r$ - радиус основания, $h$ - высота. В данном случае $S_{ос} = 9$. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $S_{бок} = 2\pi r h$.
    $2rh = 9$, следовательно, $rh = \frac{9}{2} = 4.5$.
    $S_{бок} = 2\pi rh = 2\pi \cdot 4.5 = 9\pi$.
    Площадь боковой поверхности, деленная на $\pi$, равна $\frac{9\pi}{\pi} = 9$.

8.  Радиус цилиндра $R = 10$ см. Сечение, параллельное оси цилиндра и удаленное от нее на 8 см, имеет форму квадрата. Пусть сторона квадрата равна $a$. Тогда, по теореме Пифагора, $R^2 = d^2 + (\frac{a}{2})^2$, где $d$ - расстояние от оси цилиндра до сечения.
    $10^2 = 8^2 + (\frac{a}{2})^2$.
    $100 = 64 + \frac{a^2}{4}$.
    $\frac{a^2}{4} = 36$.
    $a^2 = 144$.
    $a = 12$.
    Площадь сечения равна $a^2 = 12^2 = 144$ см².

9.  Радиус основания цилиндра $r = 4$, образующая $h = 6$. Осевое сечение цилиндра - прямоугольник со сторонами $2r$ и $h$. Диагональ осевого сечения равна $d = \sqrt{(2r)^2 + h^2}$.
    $d = \sqrt{(2 \cdot 4)^2 + 6^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.

10. Диагональ осевого сечения цилиндра $d = 8$ дм и составляет с образующей цилиндра угол $60^\circ$. Осевое сечение - прямоугольник со сторонами $h$ (образующая) и $2r$ (диаметр основания). Тогда $h = d \cdot \cos(60^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ дм. $2r = d \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ дм. $r = 2\sqrt{3}$ дм.
    Площадь полной поверхности цилиндра равна $S_{полн} = 2\pi r (r + h) = 2\pi \cdot 2\sqrt{3} (2\sqrt{3} + 4) = 4\pi\sqrt{3} (2\sqrt{3} + 4) = 4\pi (6 + 4\sqrt{3}) = 8\pi (3 + 2\sqrt{3})$ дм².

Ответ:
1.  12
2.  6
3.  3
4.  3
5.  6
6.  6
7.  9
8.  144 см²
9.  10
10. $8\pi (3 + 2\sqrt{3})$ дм²