Вариант 1

Дано:
1.  Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \sqrt{x}$, $y = 0$.
2.  Какую работу надо затратить на сжатие пружины на 4 см, если известно, что сила в 2 Н сжимает эту пружину на 1 см?

Решение:

1.  Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = \sqrt{x}$ и $y = 0$, необходимо указать пределы интегрирования. Из условия не ясно, на каком отрезке вычислять площадь. Предположим, что отрезок $[0, 1]$. Тогда площадь вычисляется как интеграл:
$$S = \int_{0}^{1} \sqrt{x} \, dx$$
2.  Вычисляем интеграл:
$$S = \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \Big|_{0}^{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \Big|_{0}^{1} = \frac{2}{3} (1^{\frac{3}{2}} - 0^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3}$$
3.  Для решения второй задачи используем закон Гука: $F = kx$, где $F$ - сила, $k$ - коэффициент упругости, $x$ - величина сжатия или растяжения.
4.  Из условия задачи известно, что сила в 2 Н сжимает пружину на 1 см (0.01 м). Следовательно, $2 = k \cdot 0.01$, откуда $k = \frac{2}{0.01} = 200$ Н/м.
5.  Работа, необходимая для сжатия пружины на 4 см (0.04 м), вычисляется как интеграл:
$$A = \int_{0}^{0.04} kx \, dx = \int_{0}^{0.04} 200x \, dx = 200 \int_{0}^{0.04} x \, dx = 200 \cdot \frac{x^2}{2} \Big|_{0}^{0.04} = 100 \cdot (0.04^2 - 0^2) = 100 \cdot 0.0016 = 0.16$$

Ответ:
1.  Площадь фигуры $S = \frac{2}{3}$.
2.  Работа, необходимая для сжатия пружины на 4 см, $A = 0.16$ Дж.

Вариант 2

Дано:
1.  Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{x}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = e$.
2.  Сила в 4 Н растягивает пружину на 8 см. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на 8 см?

Решение:

1.  Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{x}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = e$, вычисляем интеграл:
$$S = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx$$
2.  Вычисляем интеграл:
$$S = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| \Big|_{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$$
3.  Для решения второй задачи используем закон Гука: $F = kx$, где $F$ - сила, $k$ - коэффициент упругости, $x$ - величина растяжения.
4.  Из условия задачи известно, что сила в 4 Н растягивает пружину на 8 см (0.08 м). Следовательно, $4 = k \cdot 0.08$, откуда $k = \frac{4}{0.08} = 50$ Н/м.
5.  Работа, необходимая для растяжения пружины на 8 см (0.08 м), вычисляется как интеграл:
$$A = \int_{0}^{0.08} kx \, dx = \int_{0}^{0.08} 50x \, dx = 50 \int_{0}^{0.08} x \, dx = 50 \cdot \frac{x^2}{2} \Big|_{0}^{0.08} = 25 \cdot (0.08^2 - 0^2) = 25 \cdot 0.0064 = 0.16$$

Ответ:
1.  Площадь фигуры $S = 1$.
2.  Работа, необходимая для растяжения пружины на 8 см, $A = 0.16$ Дж.