Дано:
Треугольник ABC - равнобедренный, AB = AC.
AO - биссектриса угла A.
O - точка пересечения биссектрисы угла A и серединного перпендикуляра к стороне AC.
AO = 10 см.
Найти: BO.

Решение:
1. Пусть серединный перпендикуляр к AC пересекает AC в точке D. Тогда AD = DC и угол ADO = 90°.
2. Так как AO - биссектриса угла A, то угол BAO = углу OAC.
3. Рассмотрим треугольник AOD. В нем угол ADO = 90°, AO = 10 см.
4. Так как точка O лежит на серединном перпендикуляре к AC, то OA = OC. Следовательно, треугольник AOC - равнобедренный, и угол OAC = углу OCA.
5. Поскольку треугольник ABC равнобедренный (AB = AC), то угол ABC = углу ACB.
6. Пусть угол OAC = $\alpha$. Тогда угол BAO = $\alpha$, и угол OCA = $\alpha$. Следовательно, угол BAC = 2$\alpha$, и угол ACB = углу ABC.
7. Сумма углов треугольника ABC равна 180°, поэтому угол BAC + угол ABC + угол ACB = 180°.
8. Подставляем известные значения: 2$\alpha$ + угол ABC + угол ACB = 180°. Так как угол ABC = углу ACB, то 2$\alpha$ + 2 * угол ACB = 180°, или $\alpha$ + угол ACB = 90°. Следовательно, угол ACB = 90° - $\alpha$.
9. Рассмотрим треугольник BOC. Угол OCB = угол ACB - угол OCA = (90° - $\alpha$) - $\alpha$ = 90° - 2$\alpha$.
10. Так как O лежит на серединном перпендикуляре к AC, то OA = OC. Значит, OA = OC = 10 см.
11. Рассмотрим треугольники ABO и ACO. У них AB = AC, AO - общая сторона, и угол BAO = углу CAO. Следовательно, треугольники ABO и ACO равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
12. Из равенства треугольников ABO и ACO следует, что BO = CO. Так как CO = AO = 10 см, то BO = 10 см.

Ответ: BO = 10 см.