Дано: Задание из варианта 1.

**1. На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?**
На координатной прямой отмечено число $a$, которое находится между 7 и 8, ближе к 8. Следовательно, $7 < a < 8$.
Рассмотрим предложенные утверждения:
1) $-a > -6$. Если $7 <?> -6$ неверно, так как $-a$ меньше -7.
2) $9 - a < 0$. Если $7 < a < 8$, то вычтем $a$ из 9: $9 - 8 < 9 - a < 9 - 7$. Получаем $1 < 9 - a < 2$. Утверждение $9 - a < 0$ неверно, так как $9 - a$ положительно.
3) $\frac{1}{a} > 0$. Так как $a$ находится между 7 и 8, оно положительно ($a > 0$). Следовательно, его обратное число $\frac{1}{a}$ также будет положительным. Утверждение $\frac{1}{a} > 0$ верно.
4) $a - 8 > 0$. Если $7 <?> 0$ неверно.

Ответ: 3) $\frac{1}{a} > 0$

**2. Укажите наибольшее из следующих чисел:**
Даны числа: 1) $\sqrt{24}$, 2) $3\sqrt{6}$, 3) $(\sqrt{6})^2$, 4) $\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{2}}$.
Решение:
1. Преобразуем каждое число к удобному для сравнения виду.
   1) $\sqrt{24}$. Это число между $\sqrt{16}=4$ и $\sqrt{25}=5$.
   2) $3\sqrt{6}$. Возведем 3 в квадрат и внесем под корень: $3\sqrt{6} = \sqrt{3^2 \cdot 6} = \sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{54}$. Это число между $\sqrt{49}=7$ и $\sqrt{64}=8$.
   3) $(\sqrt{6})^2$. Квадратный корень из 6, возведенный в квадрат, равен самому числу под корнем: $(\sqrt{6})^2 = 6$.
   4) $\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{2}}$. Используя свойство корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$, получим: $\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{22}{2}} = \sqrt{11}$. Это число между $\sqrt{9}=3$ и $\sqrt{16}=4$.

2. Сравним полученные значения:
   $\sqrt{24}$ (примерно 4.9)
   $\sqrt{54}$ (примерно 7.3)
   $6$
   $\sqrt{11}$ (примерно 3.3)

3. Наибольшим из этих чисел является $\sqrt{54}$, что соответствует второму варианту ответа.

Ответ: 2) $3\sqrt{6}$

**3. Решите неравенство $19 - 7x > 20 - 3(x - 5)$**
Решение:
1. Раскроем скобки в правой части неравенства:
   $19 - 7x > 20 - 3x + 15$
2. Упростим правую часть:
   $19 - 7x > 35 - 3x$
3. Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а числа в другую. При переносе через знак неравенства меняем знак:
   $-7x + 3x > 35 - 19$
4. Выполним вычитание и сложение:
   $-4x > 16$
5. Разделим обе части неравенства на -4. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
   $x < \frac{16}{-4}$
   $x < -4$

6. Запишем решение в виде интервала. Неравенство строгое ($<$) и $x$ меньше -4.
   Интервал: $(-\infty; -4)$.

Ответ: 1) $(-\infty; -4)$

**4. Найдите сумму и произведение корней уравнения $x^2 - x - 6 = 0$.**
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=-1$, $c=-6$.
Решение:
1. Для нахождения суммы и произведения корней квадратного уравнения воспользуемся теоремой Виета.
   Сумма корней ($x_1 + x_2$) равна $-\frac{b}{a}$.
   Произведение корней ($x_1 \cdot x_2$) равно $\frac{c}{a}$.
2. Вычислим сумму корней:
   $x_1 + x_2 = -\frac{-1}{1} = 1$.
3. Вычислим произведение корней:
   $x_1 \cdot x_2 = \frac{-6}{1} = -6$.

Ответ: Сумма корней равна 1, произведение корней равно -6.

**5. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.**
Даны три графика (А, Б, В) и четыре формулы (1, 2, 3, 4).
График А: Прямая, проходящая через начало координат, с положительным угловым коэффициентом (поднимается слева направо).
График Б: Прямая, проходящая через начало координат, с отрицательным угловым коэффициентом (опускается слева направо).
График В: Прямая, параллельная оси $Ox$, расположенная выше оси $Ox$.

Формулы:
1) $y = 2x$
2) $y = -2x$
3) $y = x + 2$
4) $y = 2$

Решение:
1. График А: Прямая, проходящая через начало координат ($y=kx$). Угловой коэффициент положительный. Из предложенных формул, $y=2x$ (формула 1) соответствует этому описанию.
2. График Б: Прямая, проходящая через начало координат ($y=kx$). Угловой коэффициент отрицательный. Из предложенных формул, $y=-2x$ (формула 2) соответствует этому описанию.
3. График В: Прямая, параллельная оси $Ox$. Это означает, что значение $y$ постоянно и не зависит от $x$. Такая прямая имеет вид $y=c$. Формула $y=2$ (формула 4) задает горизонтальную прямую на уровне $y=2$.
   Формула $y=x+2$ (формула 3) задает прямую, которая не проходит через начало координат (при $x=0$, $y=2$) и имеет положительный угловой коэффициент. Такой график отсутствует среди предложенных.

Соответствие:
А - 1) $y = 2x$
Б - 2) $y = -2x$
В - 4) $y = 2$

Ответ: А-1, Б-2, В-4.

**6. Сократите дробь $\frac{(2a^2) \cdot (3b)^2}{(6a^2b)^2}$**
Решение:
1. Возведем числитель и знаменатель в указанные степени:
   Числитель: $(2a^2) \cdot (3b)^2 = (2a^2) \cdot (3^2 \cdot b^2) = 2a^2 \cdot 9b^2 = 18a^2b^2$.
   Знаменатель: $(6a^2b)^2 = 6^2 \cdot (a^2)^2 \cdot b^2 = 36 \cdot a^{2 \cdot 2} \cdot b^2 = 36a^4b^2$.
2. Запишем дробь с преобразованными выражениями:
   $\frac{18a^2b^2}{36a^4b^2}$
3. Сократим числовые коэффициенты: $18$ и $36$. $18/36 = 1/2$.
4. Сократим степени переменной $a$: $\frac{a^2}{a^4} = a^{2-4} = a^{-2} = \frac{1}{a^2}$.
5. Сократим степени переменной $b$: $\frac{b^2}{b^2} = b^{2-2} = b^0 = 1$.
6. Объединим результаты сокращения:
   $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{a^2} \cdot 1 = \frac{1}{2a^2}$.

Ответ: $\frac{1}{2a^2}$

**7. Решите систему уравнений**
$\begin{cases} 3x - y = 2 \\ x^2 - 4x + 8 = y \end{cases}$
Решение:
1. Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:
   $y = 3x - 2$.
2. Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:
   $x^2 - 4x + 8 = 3x - 2$.
3. Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
   $x^2 - 4x - 3x + 8 + 2 = 0$
   $x^2 - 7x + 10 = 0$.
4. Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
   $a=1$, $b=-7$, $c=10$.
   $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$.
5. Найдем корни $x$ по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
   $x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
   $x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
6. Найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$, используя выражение $y = 3x - 2$:
   Для $x_1 = 5$: $y_1 = 3 \cdot 5 - 2 = 15 - 2 = 13$.
   Для $x_2 = 2$: $y_2 = 3 \cdot 2 - 2 = 6 - 2 = 4$.
7. Запишем решения системы в виде пар $(x, y)$:
   Первое решение: $(5, 13)$.
   Второе решение: $(2, 4)$.

Проверка:
Для $(5, 13)$:
1) $3(5) - 13 = 15 - 13 = 2$ (верно)
2) $5^2 - 4(5) + 8 = 25 - 20 + 8 = 5 + 8 = 13$ (верно)
Для $(2, 4)$:
1) $3(2) - 4 = 6 - 4 = 2$ (верно)
2) $2^2 - 4(2) + 8 = 4 - 8 + 8 = 4$ (верно)

Ответ: $(5, 13)$ и $(2, 4)$.

**8. Моторная лодка прошла 36 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 5 часов. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.**
Дано:
Расстояние в одну сторону $S = 36$ км.
Общее время в пути $T_{общее} = 5$ ч.
Скорость течения реки $v_{теч} = 3$ км/ч.
Найти: Скорость лодки в неподвижной воде $v_{лодк}$.

Решение:
1. Обозначим скорость лодки в неподвижной воде как $v$.
2. Скорость лодки по течению реки будет $v + v_{теч} = v + 3$ км/ч.
3. Скорость лодки против течения реки будет $v - v_{теч} = v - 3$ км/ч.
4. Время, затраченное на путь по течению ($t_{по}$), равно расстоянию, деленному на скорость по течению:
   $t_{по} = \frac{S}{v + v_{теч}} = \frac{36}{v + 3}$.
5. Время, затраченное на путь против течения ($t_{против}$), равно расстоянию, деленному на скорость против течения:
   $t_{против} = \frac{S}{v - v_{теч}} = \frac{36}{v - 3}$.
6