Дано: Окружность с диаметром $BA$, хорда $BC$. Касательная к окружности в точке $C$ пересекает прямую $AB$ в точке $K$. На луче $KC$ за точку $C$ отмечена точка $M$. $\angle CKB = 39°$.
Найти: $\angle BCM$.

Решение:
1.  $\angle BCA = 90°$, так как опирается на диаметр $BA$.
2.  Рассмотрим треугольник $BCK$. $\angle CBK = 180° - \angle BCA - \angle CKB = 180° - 90° - 39° = 51°$.
3.  $\angle BCM$ - угол между касательной $MC$ и хордой $BC$. Он равен половине дуги $BC$, то есть равен вписанному углу, опирающемуся на эту дугу. Вписанный угол, опирающийся на дугу $BC$ - это $\angle BAC$.
4.  Рассмотрим треугольник $ABC$. $\angle BAC = 90° - \angle ABC = 90° - 51° = 39°$.
5.  $\angle BCM = \angle BAC = 39°$.

Ответ: $\angle BCM = 39°$.