Дано:
Дифференциальное уравнение $y'' + 2y' + 5y = 0$ с начальными условиями $y(0) = 1$, $y'(0) = 2$.

Решение:
1. Составим характеристическое уравнение:
$$k^2 + 2k + 5 = 0$$
2. Найдем корни характеристического уравнения:
$$k = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$$
3. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
$$y(x) = e^{-x}(C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x))$$
4. Найдем первую производную $y'(x)$:
$$y'(x) = -e^{-x}(C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)) + e^{-x}(-2C_1 \sin(2x) + 2C_2 \cos(2x))$$
$$y'(x) = e^{-x}((-C_1 + 2C_2)\cos(2x) + (-C_2 - 2C_1)\sin(2x))$$
5. Используем начальные условия $y(0) = 1$ и $y'(0) = 2$:
$$y(0) = e^{0}(C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0)) = 1(C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0) = C_1 = 1$$
$$y'(0) = e^{0}((-C_1 + 2C_2)\cos(0) + (-C_2 - 2C_1)\sin(0)) = 1((-C_1 + 2C_2) \cdot 1 + (-C_2 - 2C_1) \cdot 0) = -C_1 + 2C_2 = 2$$
6. Решим систему уравнений:
$$C_1 = 1$$
$$-C_1 + 2C_2 = 2$$
Подставим $C_1 = 1$ во второе уравнение:
$$-1 + 2C_2 = 2$$
$$2C_2 = 3$$
$$C_2 = \frac{3}{2}$$
7. Подставим найденные значения $C_1$ и $C_2$ в общее решение:
$$y(x) = e^{-x}(\cos(2x) + \frac{3}{2}\sin(2x))$$

Ответ:
$$y(x) = e^{-x}(\cos(2x) + \frac{3}{2}\sin(2x))$$