Дано:
1. Вычислить $\sqrt{1.2e^{0.2}}$, используя разложение по формуле Тейлора с точностью до второго порядка.
2. Показать, что функция $u = e^y(A\cos(2x) + B\sin(2x))$ является решением уравнения $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 4\frac{\partial u}{\partial y} = 0$.
3. Найти точки экстремума функции $z = x^3 - 3x + y^3 - 3y + 1$.

Решение:

1.  Вычислить $\sqrt{1.2e^{0.2}}$ с использованием разложения Тейлора до второго порядка.
    1.  Определим функцию $f(x, y) = \sqrt{xy}$, где $x = 1.2$ и $y = e^{0.2}$.
    2.  Выберем точку, в окрестности которой будем раскладывать функцию. Удобно взять точку $(1, 1)$. Тогда $f(1, 1) = \sqrt{1 \cdot 1} = 1$.
    3.  Найдем частные производные первого порядка:
        $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{y}{x}}$, $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{x}{y}}$.
        В точке $(1, 1)$: $\frac{\partial f}{\partial x}(1, 1) = \frac{1}{2}$, $\frac{\partial f}{\partial y}(1, 1) = \frac{1}{2}$.
    4.  Найдем частные производные второго порядка:
        $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -\frac{1}{4} \sqrt{\frac{y}{x^3}}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -\frac{1}{4} \sqrt{\frac{x}{y^3}}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{1}{4} \frac{1}{\sqrt{xy}}$.
        В точке $(1, 1)$: $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(1, 1) = -\frac{1}{4}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(1, 1) = -\frac{1}{4}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(1, 1) = \frac{1}{4}$.
    5.  Разложение Тейлора до второго порядка:
        $f(x, y) \approx f(1, 1) + \frac{\partial f}{\partial x}(1, 1)(x - 1) + \frac{\partial f}{\partial y}(1, 1)(y - 1) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(1, 1)(x - 1)^2 + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(1, 1)(y - 1)^2 + \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(1, 1)(x - 1)(y - 1)$.
        $f(x, y) \approx 1 + \frac{1}{2}(x - 1) + \frac{1}{2}(y - 1) - \frac{1}{8}(x - 1)^2 - \frac{1}{8}(y - 1)^2 + \frac{1}{4}(x - 1)(y - 1)$.
    6.  Подставим $x = 1.2$ и $y = e^{0.2} \approx 1 + 0.2 + \frac{(0.2)^2}{2} = 1 + 0.2 + 0.02 = 1.22$:
        $f(1.2, 1.22) \approx 1 + \frac{1}{2}(0.2) + \frac{1}{2}(0.22) - \frac{1}{8}(0.2)^2 - \frac{1}{8}(0.22)^2 + \frac{1}{4}(0.2)(0.22) = 1 + 0.1 + 0.11 - 0.005 - 0.00605 + 0.011 = 1.20995$.

2.  Показать, что $u = e^y(A\cos(2x) + B\sin(2x))$ является решением уравнения $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 4\frac{\partial u}{\partial y} = 0$.
    1.  Найдем $\frac{\partial u}{\partial y} = e^y(A\cos(2x) + B\sin(2x))$.
    2.  Найдем $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = e^y(-4A\cos(2x) - 4B\sin(2x)) = -4e^y(A\cos(2x) + B\sin(2x))$.
    3.  Подставим в уравнение:
        $-4e^y(A\cos(2x) + B\sin(2x)) + 4e^y(A\cos(2x) + B\sin(2x)) = 0$.
        Следовательно, функция $u$ является решением уравнения.

3.  Найти точки экстремума функции $z = x^3 - 3x + y^3 - 3y + 1$.
    1.  Найдем частные производные первого порядка:
        $\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 - 3$, $\frac{\partial z}{\partial y} = 3y^2 - 3$.
    2.  Приравняем их к нулю:
        $3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
        $3y^2 - 3 = 0 \Rightarrow y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1$.
    3.  Найдем частные производные второго порядка:
        $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 6x$, $\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 6y$, $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 0$.
    4.  Найдем дискриминант $D = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} - (\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y})^2 = (6x)(6y) - 0^2 = 36xy$.
    5.  Исследуем точки:
        (1, 1): $D = 36 > 0$, $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 6 > 0$ - минимум.
        (1, -1): $D = -36 < 0$ - седловая точка.
        (-1, 1): $D = -36 < 0$ - седловая точка.
        (-1, -1): $D = 36 > 0$, $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -6 < 0$ - максимум.
    6.  Найдем значения функции в точках экстремума:
        $z(1, 1) = 1 - 3 + 1 - 3 + 1 = -3$.
        $z(-1, -1) = -1 + 3 - 1 + 3 + 1 = 5$.

Ответ:
1.  $\sqrt{1.2e^{0.2}} \approx 1.20995$.
2.  Функция $u = e^y(A\cos(2x) + B\sin(2x))$ является решением уравнения $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 4\frac{\partial u}{\partial y} = 0$.
3.  Точки экстремума: (1, 1) - минимум, $z(1, 1) = -3$; (-1, -1) - максимум, $z(-1, -1) = 5$.