Дано: Задания из демонстрационного варианта.

Решение:

1.  Определение стоимости трафика для каждого тарифного плана:

    *   План "0": 800 МБ * 1.5 руб/МБ = 1200 руб.
    *   План "500": 450 руб (абонентская плата) + (800 - 500) МБ * 1.5 руб/МБ = 450 + 300 * 1.5 = 450 + 450 = 900 руб.
    *   План "800": 950 руб.

    Наиболее дешевый тарифный план - "800".

Ответ: 950

2.  Найти значение выражения $(\frac{2}{15} + 1\frac{1}{18}) \cdot 18$

    1.  Преобразуем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{1}{18} = \frac{19}{18}$
    2.  Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{2}{15} + \frac{19}{18} = \frac{2 \cdot 6}{15 \cdot 6} + \frac{19 \cdot 5}{18 \cdot 5} = \frac{12}{90} + \frac{95}{90} = \frac{107}{90}$
    3.  Умножим полученную дробь на 18: $\frac{107}{90} \cdot 18 = \frac{107 \cdot 18}{90} = \frac{107 \cdot 1}{5} = \frac{107}{5} = 21.4$

Ответ: 21.4

3.  Найти значение выражения $\frac{2^{-10} \cdot 2^{14}}{2^{3}}$

    1.  Используем свойство степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
        $2^{-10} \cdot 2^{14} = 2^{-10+14} = 2^4$
    2.  Используем свойство степеней: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
        $\frac{2^4}{2^3} = 2^{4-3} = 2^1 = 2$

Ответ: 2

4.  Какое из чисел принадлежит промежутку $[6; 7]$: 5) $\sqrt{7}$, 6) $\sqrt{8}$, 7) $\sqrt{42}$, 8) $\sqrt{61}$?

    1.  Оценим каждое число:
        *   $\sqrt{7} \approx 2.65$
        *   $\sqrt{8} \approx 2.83$
        *   $\sqrt{42} \approx 6.48$
        *   $\sqrt{61} \approx 7.81$

    2.  Только $\sqrt{42}$ принадлежит промежутку $[6; 7]$.

Ответ: 7

5.  Упростить выражение $(4\sqrt{5} - \sqrt{20})\sqrt{5}$

    1.  Упростим $\sqrt{20}$: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$
    2.  Подставим в выражение: $(4\sqrt{5} - 2\sqrt{5})\sqrt{5} = (2\sqrt{5})\sqrt{5} = 2 \cdot 5 = 10$

Ответ: 10

6.  Решить уравнение $3x^2 - 7x + 4 = 0$. Если в уравнении более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

    1.  Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$
    2.  Найдем корни:
        $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
        $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$
    3.  Больший корень: $\frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$

7.  Решить неравенство $3 - x \geq 3x + 5$ и определить, на каком рисунке изображено множество его решений. В ответе укажите номер правильного варианта.

    1.  Перенесем слагаемые с $x$ вправо, а числа влево: $3 - 5 \geq 3x + x$
    2.  $-2 \geq 4x$
    3.  Разделим обе части на 4: $-\frac{2}{4} \geq x$
    4.  $x \leq -\frac{1}{2}$

    Этому соответствует рисунок 1.

Ответ: 1

8.  Найти значение выражения $\frac{15^8}{5^6 \cdot 3^6}$

    1.  Представим $15$ как $5 \cdot 3$: $\frac{(5 \cdot 3)^8}{5^6 \cdot 3^6}$
    2.  Используем свойство степеней: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$
        $\frac{5^8 \cdot 3^8}{5^6 \cdot 3^6}$
    3.  Используем свойство степеней: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
        $5^{8-6} \cdot 3^{8-6} = 5^2 \cdot 3^2 = 25 \cdot 9 = 225$

Ответ: 225

9.  На каком чертеже изображен график функции $y = \frac{2}{x}$?

    График функции $y = \frac{2}{x}$ - это гипербола. На изображении гипербола представлена на чертеже 1.

Ответ: 1

10. Какие из следующих утверждений верны? В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и иных знаков.
    Два треугольника называются подобными, если:
    4) Их углы равны
    5) Углы и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным углам другого треугольника
    6) Стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

    Верные утверждения: 4 и 6.

Ответ: 46

11. Упростите выражение $(\frac{y}{x+y} - \frac{x}{x-y}) \cdot \frac{x+y}{y}$ и найдите его значение при $x = 0.6; y = -4.2$

    1.  Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:
        $\frac{y(x-y) - x(x+y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{xy - y^2 - x^2 - xy}{x^2 - y^2} = \frac{-x^2 - y^2}{x^2 - y^2} = -\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}$
    2.  Умножим на $\frac{x+y}{y}$:
        $-\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} \cdot \frac{x+y}{y} = -\frac{(x^2 + y^2)(x+y)}{(x-y)(x+y)y} = -\frac{x^2 + y^2}{(x-y)y}$
    3.  Подставим значения $x = 0.6$ и $y = -4.2$:
        $-\frac{(0.6)^2 + (-4.2)^2}{(0.6 - (-4.2))(-4.2)} = -\frac{0.36 + 17.64}{(0.6 + 4.2)(-4.2)} = -\frac{18}{4.8 \cdot (-4.2)} = \frac{18}{20.16} = \frac{1800}{2016} = \frac{225}{252} = \frac{25}{28}$

Ответ: $\frac{25}{28}$

12. Решите систему неравенств
    $\begin{cases}
    3(x+2) - x > 7 \\
    1 - 5(x-1) < -9
    \end{cases}$

    1.  Решим первое неравенство:
        $3x + 6 - x > 7$
        $2x > 7 - 6$
        $2x > 1$
        $x > \frac{1}{2}$
    2.  Решим второе неравенство:
        $1 - 5x + 5 < -9$
        $-5x < -9 - 1 - 5$
        $-5x < -15$
        $x > 3$
    3.  Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $x > 3$

Ответ: $x > 3$

13. Два туриста отправляются одновременно в город, расстояние до которого равно 12 км. Первый турист проходит в час на километр больше второго. Поэтому он приходит на 1 час раньше. Найдите скорость второго туриста.

    Дано:
    Расстояние $S = 12$ км.
    Разница во времени $t = 1$ час.
    Скорость первого туриста на 1 км/ч больше скорости второго.

    Решение:
    Пусть $v$ - скорость второго туриста. Тогда скорость первого туриста $v + 1$.
    Время, которое затратил второй турист: $t_2 = \frac{S}{v} = \frac{12}{v}$.
    Время, которое затратил первый турист: $t_1 = \frac{S}{v+1} = \frac{12}{v+1}$.
    По условию $t_2 - t_1 = 1$.
    $\frac{12}{v} - \frac{12}{v+1} = 1$
    $12(v+1) - 12v = v(v+1)$
    $12v + 12 - 12v = v^2 + v$
    $v^2 + v - 12 = 0$
    $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$
    $v_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$
    $v_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$ (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)

    Ответ: 3 км/ч

14. К окружности с центром O и радиусом 15 см проведена касательная AK (A - точка касания). Найдите длину отрезка AK, если OK = 17 см.

    Дано:
    Радиус окружности $OA = 15$ см.
    $OK = 17$ см.
    $AK$ - касательная к окружности.

    Решение:
    Так как $AK$ - касательная, то $OA \perp AK$.
    Тогда треугольник $OAK$ - прямоугольный, и можно применить теорему Пифагора:
    $OK^2 = OA^2 + AK^2$
    $AK^2 = OK^2 - OA^2$
    $AK^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$
    $AK = \sqrt{64} = 8$

Ответ: 8 см