Дано: На острове живут 10 человек - рыцари и лжецы. Среди них есть хотя бы 1 рыцарь и хотя бы 1 лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Один из них сказал: «Число лжецов среди нас делится на 1», второй: «Число лжецов среди нас делится на 2», ..., 10-й: «Число лжецов среди нас делится на 10».

Решение:
1. Предположим, что $k$ человек сказали правду (рыцари), а $10 - k$ человек солгали (лжецы).
2. Рассмотрим высказывания. Первый сказал, что число лжецов делится на 1, второй - на 2, и так далее, десятый - на 10.
3. Если человек говорит правду, то число лжецов действительно делится на его номер. Если человек лжет, то число лжецов не делится на его номер.
4. Пусть $x$ - число лжецов. Тогда рыцари говорят, что $x$ делится на их номер, а лжецы говорят, что $x$ не делится на их номер.
5. Заметим, что десятый человек сказал: "Число лжецов делится на 10". Если он рыцарь, то число лжецов делится на 10. Так как всего 10 человек, то число лжецов может быть только 10. Но тогда все лжецы, и рыцарей нет, что противоречит условию. Значит, десятый - лжец, и число лжецов не делится на 10.
6. Значит, число лжецов не равно 10. Так как есть хотя бы один рыцарь, то число лжецов меньше 10.
7. Рассмотрим случай, когда число лжецов равно 5. Тогда 1-й, 2-й, ..., 5-й говорят правду (рыцари), а 6-й, 7-й, 8-й, 9-й, 10-й лгут (лжецы). Но тогда число лжецов равно 5, что соответствует условию.
8. В этом случае рыцарей 5, а лжецов 5.
9. Проверим, что все условия выполняются. Число лжецов равно 5. Первые 5 говорят правду, что 5 делится на 1, 2, 3, 4, 5. Последние 5 лгут, что 5 не делится на 6, 7, 8, 9, 10. Все условия выполняются.
10. Рассмотрим другие варианты. Если число лжецов равно 1, то только первый говорит правду. Тогда рыцарей 9, а лжецов 1. Но тогда второй должен лгать, а он говорит, что 1 делится на 2, что неверно, значит он должен говорить правду. Противоречие.
11. Если число лжецов равно 2, то первый и второй говорят правду. Тогда рыцарей 8, а лжецов 2. Но тогда третий должен лгать, а он говорит, что 2 делится на 3, что неверно, значит он должен говорить правду. Противоречие.
12. Если число лжецов равно 6, то первые 6 говорят правду. Тогда рыцарей 4, а лжецов 6. Но тогда 7-й должен лгать, а он говорит, что 6 делится на 7, что неверно, значит он должен говорить правду. Противоречие.

Ответ: 5