Решение варианта 2:

1.
Дано: Окружность с центром в точке O, радиус $OA = 2$.
Решение:
1. Диаметр окружности равен удвоенному радиусу.
2. Диаметр = $2 \cdot OA = 2 \cdot 2 = 4$.
Ответ: Диаметр окружности равен 4.

2.
Дано: Окружность с центром в точке O, диаметр $MB$, хорда $BC$, $\angle MBC = 34^\circ$.
Решение:
1. $\angle MCO = \angle MBC$, так как опираются на одну и ту же дугу $MC$.
2. Следовательно, $\angle MCO = 34^\circ$.
Ответ: $\angle MCO = 34^\circ$.

3.
Дано: Прямая $KE$ касается окружности в точке $E$, $O$ - центр окружности, $\angle KEP = 136^\circ$.
Решение:
1. $\angle OEK = 90^\circ$, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
2. $\angle OEP = \angle KEP - \angle OEK = 136^\circ - 90^\circ = 46^\circ$.
3. $\angle CEO = \angle OEP = 46^\circ$, так как $OE = OC$ как радиусы, следовательно, $\triangle CEO$ - равнобедренный.
4. $\angle COE = 180^\circ - 2 \cdot \angle CEO = 180^\circ - 2 \cdot 46^\circ = 180^\circ - 92^\circ = 88^\circ$.
Ответ: $\angle COE = 88^\circ$.

4.
Дано: Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 6:5, считая от вершины угла при основании треугольника. Периметр треугольника равен 68 см.
Решение:
1. Пусть боковая сторона равна $a$, основание равно $b$. Тогда периметр $P = 2a + b = 68$.
2. Точка касания делит боковую сторону на отрезки $6x$ и $5x$, считая от вершины угла при основании. Тогда $a = 6x + 5x = 11x$.
3. По свойству касательных, проведенных из одной точки, отрезки касательных от вершины угла при основании до точек касания равны $6x$.
4. Отрезок касательной от вершины, противолежащей основанию, до точки касания равен $5x$. Тогда половина основания равна $6x - 5x = x$, а все основание $b = 2x$.
5. Подставляем в уравнение периметра: $2(11x) + 2x = 68$, $22x + 2x = 68$, $24x = 68$, $x = \frac{68}{24} = \frac{17}{6}$.
6. Боковая сторона $a = 11x = 11 \cdot \frac{17}{6} = \frac{187}{6}$.
7. Основание $b = 2x = 2 \cdot \frac{17}{6} = \frac{17}{3}$.
Ответ: Боковые стороны равны $\frac{187}{6}$ см, основание равно $\frac{17}{3}$ см.

5.
Дано: Точка $O$ - центр окружности, $\angle MON = 68^\circ$.
Решение:
1. $\angle MKN$ - вписанный угол, опирающийся на дугу $MN$.
2. $\angle MON$ - центральный угол, опирающийся на дугу $MN$.
3. $\angle MKN = \frac{1}{2} \angle MON = \frac{1}{2} \cdot 68^\circ = 34^\circ$.
Ответ: $\angle MKN = 34^\circ$.

6.
Дано: К окружности с центром $O$ проведена касательная $AB$ ($A$ - точка касания), $OB = 10$ см, $\angle ABO = 30^\circ$.
Решение:
1. $OA$ - радиус окружности, проведенный в точку касания, следовательно, $OA \perp AB$, то есть $\angle OAB = 90^\circ$.
2. В прямоугольном треугольнике $ABO$: $\sin(\angle ABO) = \frac{OA}{OB}$.
3. $OA = OB \cdot \sin(\angle ABO) = 10 \cdot \sin(30^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ см.
Ответ: Радиус окружности равен 5 см.