Дано: Трапеция $ABCD$, $BC = 5$, $BE \parallel CD$, $P_{ABCD} = 20$.
Найти: $P_{ABE}$.

Решение:
1. Так как $BE \parallel CD$ и $BC \parallel ED$ (по определению трапеции), то $BCDE$ - параллелограмм.
2. Следовательно, $BC = ED = 5$ и $CD = BE$.
3. Периметр трапеции $ABCD$ равен $AB + BC + CD + AD = 20$.
4. $AD = AE + ED$, следовательно, $AD = AE + 5$.
5. Подставим $AD = AE + 5$ в выражение для периметра трапеции: $AB + BC + CD + AE + 5 = 20$.
6. Заменим $BC$ на 5: $AB + 5 + CD + AE + 5 = 20$.
7. $AB + CD + AE = 10$.
8. Так как $CD = BE$, то $AB + BE + AE = 10$.
9. Периметр треугольника $ABE$ равен $AB + BE + AE$.
10. Следовательно, $P_{ABE} = AB + BE + AE = 10$.

Ответ: $P_{ABE} = 10$.