Дано:
Задание 1: Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Задание 2: Точки разрыва функции.
Задание 3: Найти производную функции $z = 3x^2 + 5y^2$ в точке $A(1;-1)$ по направлению вектора $\vec{a}(2;1)$.

Решение:

Задание 1: Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
1. Общий вид однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:
$$ay'' + by' + cy = 0$$
где $a, b, c$ - постоянные коэффициенты, $a \neq 0$.
2. Для решения такого уравнения составляется характеристическое уравнение:
$$a\lambda^2 + b\lambda + c = 0$$
3. Корни характеристического уравнения $\lambda_1, \lambda_2$ определяют вид общего решения дифференциального уравнения. Возможны три случая:
    а) Корни действительные и различные ($\lambda_1 \neq \lambda_2$):
    Общее решение имеет вид: $y = C_1e^{\lambda_1 x} + C_2e^{\lambda_2 x}$.
    б) Корни действительные и равные ($\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda$):
    Общее решение имеет вид: $y = (C_1 + C_2 x)e^{\lambda x}$.
    в) Корни комплексные сопряженные ($\lambda_{1,2} = \alpha \pm i\beta$):
    Общее решение имеет вид: $y = e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$.
4. $C_1$ и $C_2$ - произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий, если они заданы.

Задание 2: Точки разрыва функции.
1. Точки разрыва функции - это точки, в которых функция не является непрерывной.
2. Функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, если выполняются три условия:
    а) Функция $f(x)$ определена в точке $x_0$ (то есть $f(x_0)$ существует).
    б) Существует конечный предел функции в этой точке: $\lim_{x \to x_0} f(x)$ существует.
    в) Этот предел равен значению функции в точке: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.
3. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то точка $x_0$ является точкой разрыва.
4. Точки разрыва делятся на два основных типа:
    а) Точки устранимого разрыва (разрыв первого рода): Если существуют конечные односторонние пределы $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ и $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$, и они равны, но не равны $f(x_0)$ (или $f(x_0)$ не существует). Такой разрыв можно "устранить", доопределив или переопределив функцию в этой точке.
    б) Точки неустранимого разрыва (разрыв первого рода, скачок): Если существуют конечные односторонние пределы $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ и $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$, но они не равны.
    в) Точки разрыва второго рода: Если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует.

Задание 3: Найти производную функции $z = 3x^2 + 5y^2$ в точке $A(1;-1)$ по направлению вектора $\vec{a}(2;1)$.
1. Функция $z = f(x,y) = 3x^2 + 5y^2$.
2. Точка $A(1;-1)$, то есть $x_0 = 1$, $y_0 = -1$.
3. Вектор направления $\vec{a}(2;1)$.
4. Для нахождения производной по направлению необходимо найти градиент функции в данной точке. Градиент функции $z$ обозначается $\nabla z$ и равен вектору частных производных:
$$\nabla z = \left(\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}\right)$$
5. Вычислим частные производные:
$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2 + 5y^2) = 6x$$
$$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2 + 5y^2) = 10y$$
6. Найдем значения частных производных в точке $A(1;-1)$:
$$\frac{\partial z}{\partial x}(1;-1) = 6 \cdot 1 = 6$$
$$\frac{\partial z}{\partial y}(1;-1) = 10 \cdot (-1) = -10$$
7. Градиент функции в точке $A(1;-1)$:
$$\nabla z(1;-1) = (6, -10)$$
8. Найдем единичный вектор направления $\vec{e}$ для вектора $\vec{a}(2;1)$. Длина вектора $\vec{a}$ равна:
$$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$$
9. Единичный вектор $\vec{e}$:
$$\vec{e} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right)$$
10. Производная функции по направлению $D_{\vec{a}}z$ вычисляется как скалярное произведение градиента функции в данной точке на единичный вектор направления:
$$D_{\vec{a}}z = \nabla z \cdot \vec{e}$$
11. Вычислим производную по направлению:
$$D_{\vec{a}}z(1;-1) = (6, -10) \cdot \left(\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right) = 6 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} + (-10) \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}$$
$$D_{\vec{a}}z(1;-1) = \frac{12}{\sqrt{5}} - \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{12 - 10}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$$
12. Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$$D_{\vec{a}}z(1;-1) = \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$

Ответ:
1. Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеют вид $ay'' + by' + cy = 0$. Их решение находится через корни характеристического уравнения $a\lambda^2 + b\lambda + c = 0$.
2. Точки разрыва функции - это точки, в которых функция не является непрерывной. Они делятся на устранимые, неустранимые (скачки) и разрывы второго рода.
3. Производная функции $z = 3x^2 + 5y^2$ в точке $A(1;-1)$ по направлению вектора $\vec{a}(2;1)$ равна $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.