Дано:
Задание 24: Уравнение x² - 2(a - 1)x + a + 5 = 0. Найти значения a, при которых корни имеют разные знаки.
Задание 25: В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90 градусов) BC = 4 см, cos A = 0,75. Найти высоту CH.

Решение:

Решим задание 24.

1. Для того чтобы квадратное уравнение имело два действительных корня разных знаков, необходимо и достаточно, чтобы произведение его корней было строго меньше нуля.

2. По теореме Виета для приведенного квадратного уравнения произведение корней равно свободному члену:
$$x_1 \cdot x_2 = q$$
В данном уравнении свободный член равен a + 5.

3. Запишем условие, при котором произведение корней отрицательно:
a + 5 < 0

4. Решим полученное неравенство:
a < -5
Это соответствует интервалу $(-\infty; -5)$.

5. Убедимся, что при этих значениях дискриминант уравнения всегда положителен, то есть корни действительно существуют. Дискриминант, деленный на 4, равен:
$$D/4 = (a - 1)^2 - (a + 5) = a^2 - 2a + 1 - a - 5 = a^2 - 3a - 4$$
Для существования корней должно выполняться неравенство:
$$a^2 - 3a - 4 > 0$$
Разложим левую часть на множители:
$$(a - 4)(a + 1) > 0$$
Решением этого неравенства является множество $(-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$.
Интервал $(-\infty; -5)$ полностью входит в это множество, следовательно, при всех a < -5 уравнение гарантированно имеет два различных действительных корня разных знаков. Таким образом, верным является вариант А.

Решим задание 25.

6. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Высота CH проведена к гипотенузе AB.

7. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит его на два подобных треугольника, которые также подобны исходному. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCH с прямым углом H.

8. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике ABC равна 90 градусов, то есть угол A + угол B = 90 градусов. В прямоугольном треугольнике BCH сумма острых углов также равна 90 градусов, откуда угол BCH + угол B = 90 градусов. Следовательно, угол BCH равен углу A.

9. Из равенства углов следует равенство их косинусов:
cos(BCH) = cos A = 0,75

10. В прямоугольном треугольнике BCH косинус угла BCH равен отношению прилежащего катета CH к гипотенузе BC:
$$\cos(\angle BCH) = \frac{CH}{BC}$$

11. Подставим известные значения в формулу:
$$0,75 = \frac{CH}{4}$$

12. Выразим и найдем высоту CH:
CH = 4 * 0,75
CH = 3 см
Таким образом, верным является вариант А.

Ответ:
Задание 24: А
Задание 25: А