Дано:
Система уравнений:
$$
\begin{cases}
(4x + 3)^2 = 7y \\
(3x + 4)^2 = 7y
\end{cases}
$$

Решение:
1.  Поскольку правые части обоих уравнений равны $7y$, мы можем приравнять левые части уравнений друг к другу:
    $$(4x + 3)^2 = (3x + 4)^2$$

2.  Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
    $$(4x)^2 + 2 \cdot (4x) \cdot 3 + 3^2 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot 4 + 4^2$$
    $$16x^2 + 24x + 9 = 9x^2 + 24x + 16$$

3.  Перенесем все члены в левую часть уравнения и приведем подобные слагаемые:
    $$16x^2 + 24x + 9 - 9x^2 - 24x - 16 = 0$$
    $$(16x^2 - 9x^2) + (24x - 24x) + (9 - 16) = 0$$
    $$7x^2 - 7 = 0$$

4.  Решим полученное квадратное уравнение относительно $x$:
    $$7x^2 = 7$$
    $$x^2 = \frac{7}{7}$$
    $$x^2 = 1$$
    Извлечем квадратный корень из обеих частей:
    $$x = \pm \sqrt{1}$$
    Таким образом, получаем два значения для $x$:
    $$x_1 = 1$$
    $$x_2 = -1$$

5.  Найдем соответствующие значения $y$ для каждого значения $x$, подставив их в одно из исходных уравнений (например, в первое уравнение $(4x + 3)^2 = 7y$).

    Случай 1: $x_1 = 1$
    Подставим $x_1 = 1$ в уравнение $(4x + 3)^2 = 7y$:
    $$(4 \cdot 1 + 3)^2 = 7y$$
    $$(4 + 3)^2 = 7y$$
    $$7^2 = 7y$$
    $$49 = 7y$$
    $$y_1 = \frac{49}{7}$$
    $$y_1 = 7$$
    Первое решение: $(1, 7)$.

    Случай 2: $x_2 = -1$
    Подставим $x_2 = -1$ в уравнение $(4x + 3)^2 = 7y$:
    $$(4 \cdot (-1) + 3)^2 = 7y$$
    $$(-4 + 3)^2 = 7y$$
    $$(-1)^2 = 7y$$
    $$1 = 7y$$
    $$y_2 = \frac{1}{7}$$
    Второе решение: $(-1, \frac{1}{7})$.

6.  Проверка решений:

    Проверим решение $(1, 7)$:
    Первое уравнение: $(4 \cdot 1 + 3)^2 = (7)^2 = 49$. Правая часть: $7 \cdot 7 = 49$. (Верно)
    Второе уравнение: $(3 \cdot 1 + 4)^2 = (7)^2 = 49$. Правая часть: $7 \cdot 7 = 49$. (Верно)

    Проверим решение $(-1, \frac{1}{7})$:
    Первое уравнение: $(4 \cdot (-1) + 3)^2 = (-4 + 3)^2 = (-1)^2 = 1$. Правая часть: $7 \cdot \frac{1}{7} = 1$. (Верно)
    Второе уравнение: $(3 \cdot (-1) + 4)^2 = (-3 + 4)^2 = (1)^2 = 1$. Правая часть: $7 \cdot \frac{1}{7} = 1$. (Верно)

Оба решения верны.

Ответ:
Система имеет два решения:
$$x_1 = 1, y_1 = 7$$
$$x_2 = -1, y_2 = \frac{1}{7}$$