1.  В треугольнике ABC угол A равен 36°, угол C равен 86°. Найдите градусную меру угла B.

Дано:
$\angle A = 36^\circ$
$\angle C = 86^\circ$

Решение:
1. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
2. $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$
3. $\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C$
4. $\angle B = 180^\circ - 36^\circ - 86^\circ$
5. $\angle B = 180^\circ - 122^\circ$
6. $\angle B = 58^\circ$

Ответ: $\angle B = 58^\circ$

2. На рисунке найти равные треугольники и доказать их равенство.

Дано: Рисунок с треугольниками MNK и NPK. Визуально: MN = NK и NP = PK.

Решение:
1. Рассмотрим треугольники MNK и NPK.
2. MN = NK и NP = PK (по условию рисунка, так как стороны отмечены одинаковым количеством штрихов).
3. NK - общая сторона.
4. Следовательно, треугольники MNK и NPK равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Ответ: Треугольники MNK и NPK равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

1. Проверить параллельность прямых.

Дано: Рисунок с углами.

Решение:
1. Угол 1 равен 60°.
2. Угол между прямыми a и b, смежный с углом 1, равен 180° - 60° = 120°.
3. Угол 4 равен 120°.
4. Так как соответственные углы (угол 4 и угол, смежный с углом 1) равны, то прямые a и b параллельны.

Ответ: Прямые a и b параллельны, так как соответственные углы равны.

2. Биссектриса внешнего угла при вершине B треугольника ABC параллельна стороне AC. Найдите величину угла CAB, если угол ABC равен 32°.

Дано:
Биссектриса внешнего угла при вершине B параллельна AC.
$\angle ABC = 32^\circ$

Решение:
1. Пусть биссектриса внешнего угла при вершине B - прямая BD, параллельная AC.
2. Внешний угол при вершине B равен 180° - $\angle ABC$ = 180° - 32° = 148°.
3. Так как BD - биссектриса, то угол между BD и стороной BC равен 148° / 2 = 74°.
4. Угол между BD и AC - соответственные углы при параллельных прямых BD и AC, следовательно, они равны.
5. Значит, $\angle ACB = 74^\circ$.
6. Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°.
7. $\angle CAB = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 32^\circ - 74^\circ = 180^\circ - 106^\circ = 74^\circ$.

Ответ: $\angle CAB = 74^\circ$

3.
1. Задан угол AOB, OC - биссектриса этого угла. Найти угол AOB, если угол BOC равен 18°.

Дано:
OC - биссектриса $\angle AOB$
$\angle BOC = 18^\circ$

Решение:
1. Так как OC - биссектриса $\angle AOB$, то $\angle AOC = \angle BOC$.
2. $\angle AOC = 18^\circ$.
3. $\angle AOB = \angle AOC + \angle BOC = 18^\circ + 18^\circ = 36^\circ$.

Ответ: $\angle AOB = 36^\circ$

2. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CD. Найти величину угла A, если угол BCD равен 50°.

Дано:
$\angle C = 90^\circ$
CD - высота, следовательно, $\angle CDA = 90^\circ$
$\angle BCD = 50^\circ$

Решение:
1. Рассмотрим треугольник BCD. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
2. $\angle CBD = 90^\circ - \angle BCD = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$.
3. $\angle ABC = \angle CBD = 40^\circ$.
4. Рассмотрим треугольник ABC.
5. $\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 40^\circ - 90^\circ = 50^\circ$.

Ответ: $\angle A = 50^\circ$

1. В прямоугольном треугольнике KEP катет KP равен 14 см, угол E равен 30°. Найдите гипотенузу EP.

Дано:
$\angle K = 90^\circ$
KP = 14 см
$\angle E = 30^\circ$

Решение:
1. В прямоугольном треугольнике KEP синус угла E равен отношению противолежащего катета KP к гипотенузе EP:
$\sin E = \frac{KP}{EP}$
2. $\sin 30^\circ = \frac{14}{EP}$
3. $\frac{1}{2} = \frac{14}{EP}$
4. $EP = 14 \cdot 2 = 28$ см

Ответ: EP = 28 см

2. Укажите пары параллельных прямых, докажите выбор.

Дано: Рисунок с углами 40°, 30°, 160°, 30°.

Решение:
1. Прямые a и b параллельны, так как соответственные углы равны 30°.
2. Сумма углов 40° и 160° равна 200°, что не дает параллельности прямым.

Ответ: Прямые a и b параллельны, так как соответственные углы равны 30°.

3. По данным на рисунке найти угол BAC.

Дано: Рисунок с углами.

Решение:
1. Внешний угол при вершине A равен 37°.
2. $\angle BAC = 180^\circ - 37^\circ = 143^\circ$.

Ответ: $\angle BAC = 143^\circ$

4. Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр треугольника равен 78 см, а одна из сторон равна 18 см. Найдите две другие стороны треугольника.

Дано:
Два внешних угла равны.
Периметр P = 78 см.
Одна сторона a = 18 см.

Решение:
1. Если два внешних угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
2. Пусть a = 18 см - основание. Тогда две другие стороны равны между собой (b = c).
3. Периметр P = a + b + c = a + 2b = 78 см.
4. 18 + 2b = 78
5. 2b = 78 - 18 = 60
6. b = 60 / 2 = 30 см
7. c = b = 30 см

Ответ: Две другие стороны треугольника равны 30 см.

1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 37°. Найти угол при вершине.

Дано:
Равнобедренный треугольник.
Угол при основании равен 37°.

Решение:
1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
2. Два угла при основании равны 37°.
3. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
4. Угол при вершине = 180° - 37° - 37° = 180° - 74° = 106°.

Ответ: Угол при вершине равен 106°.

2. Докажите, что биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны.

Дано:
Параллельные прямые a и b.
Секущая c.
Биссектрисы внутренних односторонних углов.

Решение:
1. Пусть внутренние односторонние углы равны $\alpha$ и $\beta$.
2. Так как прямые a и b параллельны, то $\alpha + \beta = 180^\circ$.
3. Биссектрисы делят углы пополам, поэтому углы между биссектрисами и прямыми равны $\frac{\alpha}{2}$ и $\frac{\beta}{2}$.
4. Сумма этих углов равна $\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$.
5. Следовательно, биссектрисы образуют прямой угол, то есть они перпендикулярны.

Ответ: Биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны.

1. Используя данные рисунка, найти градусную меру углов 2 и 4.

Дано:
$\angle 1 + \angle 3 = 70^\circ$

Решение:
1. $\angle 1 = \angle 3$ как вертикальные углы.
2. $\angle 1 + \angle 3 = 2 \cdot \angle 1 = 70^\circ$
3. $\angle 1 = 35^\circ$
4. $\angle 3 = 35^\circ$
5. $\angle 2$ и $\angle 1$ - смежные углы, поэтому $\angle 2 = 180^\circ - \angle 1 = 180^\circ - 35^\circ = 145^\circ$
6. $\angle 4 = \angle 2$ как вертикальные углы, поэтому $\angle 4 = 145^\circ$

Ответ: $\angle 2 = 145^\circ$, $\angle 4 = 145^\circ$

2. Углы треугольника ABC относятся так: $\angle A : \angle B : \angle C = 1:2:3$. Биссектриса BM угла ABC равна 6. Найти длину отрезка MC.

Дано:
$\angle A : \angle B : \angle C = 1:2:3$
BM - биссектриса $\angle ABC$, BM = 6

Решение:
1. Пусть $\angle A = x$, $\angle B = 2x$, $\angle C = 3x$.
2. Сумма углов в треугольнике: $x + 2x + 3x = 180^\circ$
3. $6x = 180^\circ$
4. $x = 30^\circ$
5. $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 60^\circ$, $\angle C = 90^\circ$
6. Треугольник ABC - прямоугольный.
7. BM - биссектриса угла B, следовательно, $\angle ABM = \angle CBM = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$
8. Рассмотрим треугольник BMC. $\angle C = 90^\circ$, $\angle CBM = 30^\circ$, следовательно, $\angle BMC = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$
9. Рассмотрим треугольник ABM. $\angle A = 30^\circ$, $\angle ABM = 30^\circ$, следовательно, треугольник ABM - равнобедренный, и AM = BM = 6.
10. Так как BM - биссектриса, по свойству биссектрисы $\frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC}$
11. В прямоугольном треугольнике ABC: $\angle A = 30^\circ$, следовательно, BC = $\frac{1}{2} AB$
12. $\frac{AM}{MC} = \frac{AB}{\frac{1}{2} AB} = 2$
13. $\frac{6}{MC} = 2$
14. $MC = \frac{6}{2} = 3$

Ответ: MC = 3

1. Два угла треугольника относятся как 4:7, а внешний угол третьего угла равен 121°. Найти углы треугольника.

Дано:
Два угла относятся как 4:7.
Внешний угол третьего угла равен 121°.

Решение:
1. Пусть углы треугольника $\alpha$, $\beta$, $\gamma$.
2. $\alpha : \beta = 4:7$, значит, $\alpha = 4x$, $\beta = 7x$.
3. Внешний угол $\gamma$ равен 121°, значит, $\gamma = 180^\circ - 121^\circ = 59^\circ$.
4. Сумма углов в треугольнике: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$
5. $4x + 7x + 59^\circ = 180^\circ$
6. $11x = 180^\circ - 59^\circ = 121^\circ$
7. $x = \frac{121^\circ}{11} = 11^\circ$
8. $\alpha = 4 \cdot 11^\circ = 44^\circ$
9. $\beta = 7 \cdot 11^\circ = 77^\circ$

Ответ: Углы треугольника равны 44°, 77°, 59°.

2. Сумма вертикальных углов в 3 раза больше смежного с ним угла. Найдите вертикальные углы.

Дано:
Сумма вертикальных углов в 3 раза больше смежного с ними угла.

Решение:
1. Пусть вертикальные углы равны $\alpha$.
2. Смежный угол равен $\beta$.
3. $\alpha + \beta = 180^\circ$
4. $\alpha + \alpha = 3\beta$
5. $2\alpha = 3\beta$
6. $\beta = 180^\circ - \alpha$
7. $2\alpha = 3(180^\circ - \alpha)$
8. $2\alpha = 540^\circ - 3\alpha$
9. $5\alpha = 540^\circ$
10. $\alpha = \frac{540^\circ}{5} = 108^\circ$

Ответ: Вертикальные углы равны 108°.