Дано: Прямоугольник $ABCD$, $AB = 6$, $BC = 8$, $O$ - точка пересечения диагоналей. Найти длину суммы векторов $\overrightarrow{AO}$ и $\overrightarrow{DO}$.

Решение:
1. Сделаем рисунок прямоугольника $ABCD$ с точкой пересечения диагоналей $O$.

2. Найдем диагональ $AC$ прямоугольника $ABCD$ по теореме Пифагора:
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

3. Так как $O$ - точка пересечения диагоналей прямоугольника, то $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ и $DO = \frac{1}{2}DB = \frac{1}{2}AC = 5$.

4. Найдем сумму векторов $\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{DO}$.  По правилу параллелограмма (в данном случае, ромба, так как $AO = DO$), сумма векторов $\overrightarrow{AO}$ и $\overrightarrow{DO}$ есть вектор $\overrightarrow{AP}$, где $AP$ - диагональ параллелограмма, построенного на векторах $\overrightarrow{AO}$ и $\overrightarrow{DO}$.  Этот параллелограмм - ромб, так как $AO = DO$.

5. Заметим, что $\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{DO} = \overrightarrow{DO} + \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{DA}$.

6. Найдем длину вектора $\overrightarrow{DA}$. Так как $ABCD$ - прямоугольник, то $DA = BC = 8$.

Ответ: 8