Выполняю задания первого варианта.

1)
Дано: Радиус основания цилиндра $r = 7$, высота $h = 2$.
Решение:
1. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $S_{бок} = 2 \pi r h$.
2. Подставляем значения: $S_{бок} = 2 \pi \cdot 7 \cdot 2 = 28 \pi$.
3. Площадь боковой поверхности, деленная на $\pi$, равна $\frac{S_{бок}}{\pi} = \frac{28 \pi}{\pi} = 28$.
Ответ: 28

2)
Дано: Длина окружности основания цилиндра $C = 6$, высота $h = 3$.
Решение:
1. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $S_{бок} = C h$.
2. Подставляем значения: $S_{бок} = 6 \cdot 3 = 18$.
Ответ: 18

3)
Дано: Длина окружности основания цилиндра $C = 14$, площадь боковой поверхности $S_{бок} = 182$.
Решение:
1. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $S_{бок} = C h$.
2. Выражаем высоту: $h = \frac{S_{бок}}{C}$.
3. Подставляем значения: $h = \frac{182}{14} = 13$.
Ответ: 13

4)
Дано: Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок} = 9\pi$, диаметр основания $d = 3$.
Решение:
1. Радиус основания равен $r = \frac{d}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$.
2. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $S_{бок} = 2 \pi r h$.
3. Выражаем высоту: $h = \frac{S_{бок}}{2 \pi r}$.
4. Подставляем значения: $h = \frac{9 \pi}{2 \pi \cdot 1.5} = \frac{9}{3} = 3$.
Ответ: 3

5)
Дано: Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок} = 64\pi$, высота $h = 8$.
Решение:
1. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $S_{бок} = 2 \pi r h$.
2. Выражаем радиус: $r = \frac{S_{бок}}{2 \pi h}$.
3. Подставляем значения: $r = \frac{64 \pi}{2 \pi \cdot 8} = \frac{64}{16} = 4$.
4. Диаметр основания равен $d = 2r = 2 \cdot 4 = 8$.
Ответ: 8

6)
Дано: Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 6. Площадь боковой поверхности призмы равна 48.
Решение:
1. Сторона основания призмы равна $a = r \sqrt{2} = 6 \sqrt{2}$.
2. Периметр основания призмы равен $P = 4a = 4 \cdot 6 \sqrt{2} = 24 \sqrt{2}$.
3. Площадь боковой поверхности призмы равна $S_{бок} = P h$, где $h$ - высота призмы (и цилиндра).
4. Выражаем высоту: $h = \frac{S_{бок}}{P} = \frac{48}{24 \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$

7)
Дано: Площадь осевого сечения цилиндра равна 23.
Решение:
1. Площадь осевого сечения цилиндра равна $S_{ос} = 2rh$, где $r$ - радиус основания, $h$ - высота цилиндра.
2. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $S_{бок} = 2 \pi r h$.
3. Выражаем $rh$ из площади осевого сечения: $rh = \frac{S_{ос}}{2} = \frac{23}{2}$.
4. Подставляем в формулу площади боковой поверхности: $S_{бок} = 2 \pi \cdot \frac{23}{2} = 23 \pi$.
5. Площадь боковой поверхности, деленная на $\pi$, равна $\frac{S_{бок}}{\pi} = \frac{23 \pi}{\pi} = 23$.
Ответ: 23

8)
Дано: Высота цилиндра $h = 16$ см. На расстоянии 6 см от оси цилиндра проведено сечение, параллельное оси цилиндра и имеющее форму квадрата.
Решение:
1. Сечение - квадрат, значит, его сторона равна высоте цилиндра, то есть 16 см.
2. Пусть $r$ - радиус основания цилиндра. Тогда по теореме Пифагора $r^2 = 6^2 + 8^2$, где 6 - расстояние от оси цилиндра до сечения, а 8 - половина стороны квадрата (сечения).
3. $r^2 = 36 + 64 = 100$.
4. $r = \sqrt{100} = 10$ см.
Ответ: 10

9)
Дано: Радиус основания цилиндра $r = 4$, диагональ осевого сечения равна 10.
Решение:
1. Осевое сечение цилиндра - прямоугольник со сторонами $2r$ и $h$, где $h$ - образующая цилиндра.
2. По теореме Пифагора, $(2r)^2 + h^2 = d^2$, где $d$ - диагональ осевого сечения.
3. Подставляем значения: $(2 \cdot 4)^2 + h^2 = 10^2$.
4. $8^2 + h^2 = 100$.
5. $64 + h^2 = 100$.
6. $h^2 = 100 - 64 = 36$.
7. $h = \sqrt{36} = 6$.
Ответ: 6

10)
Дано: Диагональ осевого сечения цилиндра равна $8\sqrt{2}$ дм и образует с плоскостью основания цилиндра угол 45°.
Решение:
1. Осевое сечение цилиндра - прямоугольник со сторонами $2r$ и $h$, где $r$ - радиус основания, $h$ - высота цилиндра.
2. Диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол 45°, значит, $2r = h$.
3. По теореме Пифагора, $(2r)^2 + h^2 = d^2$, где $d$ - диагональ осевого сечения.
4. Подставляем $h = 2r$: $(2r)^2 + (2r)^2 = (8\sqrt{2})^2$.
5. $4r^2 + 4r^2 = 64 \cdot 2$.
6. $8r^2 = 128$.
7. $r^2 = \frac{128}{8} = 16$.
8. $r = \sqrt{16} = 4$ дм.
9. $h = 2r = 2 \cdot 4 = 8$ дм.
10. Площадь полной поверхности цилиндра равна $S_{полн} = 2 \pi r (r + h)$.
11. Подставляем значения: $S_{полн} = 2 \pi \cdot 4 (4 + 8) = 8 \pi \cdot 12 = 96 \pi$.
Ответ: $96 \pi$