Дано: Учебное задание по теме "Определение синуса, косинуса и тангенса угла от 0° до 180°".

Решение:
Задание состоит из нескольких частей, связанных с единичной полуокружностью и определениями тригонометрических функций.

Часть А. Единичная полу окружность:
1.  центр находится в точке O(0; 0);
2.  радиус равен 1;
3.  лежит в первом и II квадрантах.

Следующий раздел описывает построение угла и перпендикуляра.
Пусть угол — острый. Опустим перпендикуляр МК на ось Ох. Тогда ДОМК - прямоугольный треугольник, OM = 1 (радиус единичной полуокружности), OK = $x_0$ (абсцисса точки М), MK = $y_0$ (ордината точки М).

Определения тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике:
Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Переход к более общим углам:
Таким образом, определения синуса и косинуса и тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике соответствуют данным выше. Теперь угол $\alpha$ может быть не только острым, но и тупым.

Свойства точки на единичной полуокружности:
Так как точка M($x_0$; $y_0$) лежит на единичной полуокружности, то -1 $\le x_0 \le$ 1, 0 $\le y_0 \le$ 1. Значит, sin $\alpha$ $\ge$ 0, cos $\alpha$ может быть как положительным, так и отрицательным, причём если угол острый, то его косинус положительный, а если угол тупой, то его косинус отрицательный.

Определения тригонометрических функций для угла $\alpha$ с вершиной в точке O, где одна сторона совпадает с положительным направлением оси Ox, а другая пересекает единичную полуокружность в точке M($x_0$; $y_0$):
Синусом угла $\alpha$ называется ордината $y_0$ точки М.
Косинусом угла $\alpha$ называется абсцисса $x_0$ точки М.
Тангенсом угла $\alpha$ называется отношение ординаты $y_0$ к абсциссе $x_0$ точки М.

Свойства тангенса:
Тангенс угла может принимать любые значения, но для угла $= 90^\circ$ не существует, потому что делить на 0 нельзя. Тогда точка М имеет координаты (0; 1).
Тангенс угла $90^\circ$ не существует.
Точка М лежит на окружности, которая задаётся уравнением $x_0^2 + y_0^2 = 1$, значит её координаты удовлетворяют этому уравнению, т. е. $x_0^2 + y_0^2 = 1$.
Это равенство называется основным тригонометрическим тождеством.

Ответ:
Часть А:
1. центр находится в точке O(0; 0);
2. радиус равен 1;
3. лежит в первом и II квадрантах.

Пусть угол — острый. Опустим перпендикуляр МК на ось Ох. Тогда ДОМК - прямоугольный треугольник, OM = 1, OK = $x_0$, MK = $y_0$.

Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Теперь угол $\alpha$ может быть не только острым, но и тупым.

Так как точка M($x_0$; $y_0$) лежит на единичной полуокружности, то -1 $\le x_0 \le$ 1, 0 $\le y_0 \le$ 1. Значит, sin $\alpha$ $\ge$ 0, cos $\alpha$ может быть как положительным, так и отрицательным, причём если угол острый, то его косинус положительный, а если угол тупой, то его косинус отрицательный.

Синусом угла $\alpha$ называется ордината $y_0$ точки М.
Косинусом угла $\alpha$ называется абсцисса $x_0$ точки М.
Тангенсом угла $\alpha$ называется отношение ординаты $y_0$ к абсциссе $x_0$ точки М.

Тангенс угла может принимать любые значения, но для угла $= 90^\circ$ не существует, потому что делить на 0 нельзя. Тогда точка М имеет координаты (0; 1).
Тангенс угла $90^\circ$ не существует.
Точка М лежит на окружности, которая задаётся уравнением $x_0^2 + y_0^2 = 1$, значит её координаты удовлетворяют этому уравнению, т. е. $x_0^2 + y_0^2 = 1$.
Это равенство называется основным тригонометрическим тождеством.