1.  
    Дано: В треугольниках $ABC$ и $DEK$: $AB = DE$, $AC = DK$, $BP = EM$, где $P$ и $M$ - середины сторон $AC$ и $DK$ соответственно.
    а) Доказать, что $\triangle ABC = \triangle DEK$.
    б) Найти $S_{ABC}$, если $EM = 3$ см, $DK = 4\sqrt{2}$ см, $\angle EMK = 135^\circ$.
Решение:
а)
1.  Так как $P$ и $M$ - середины $AC$ и $DK$ соответственно, то $AP = \frac{1}{2}AC$ и $DM = \frac{1}{2}DK$.
2.  По условию $AC = DK$, следовательно, $\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}DK$, то есть $AP = DM$.
3.  Рассмотрим треугольники $ABP$ и $DEM$. У них $AB = DE$ (по условию), $AP = DM$ (доказано выше), $BP = EM$ (по условию).
4.  Следовательно, $\triangle ABP = \triangle DEM$ по трем сторонам.
5.  Из равенства треугольников следует, что $\angle A = \angle D$.
6.  Рассмотрим треугольники $ABC$ и $DEK$. У них $AB = DE$ (по условию), $AC = DK$ (по условию), $\angle A = \angle D$ (доказано выше).
7.  Следовательно, $\triangle ABC = \triangle DEK$ по двум сторонам и углу между ними.

б)
1.  Рассмотрим треугольник $DEM$. Известно, что $DM = \frac{1}{2}DK = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см, $EM = 3$ см, $\angle EMK = 135^\circ$. Так как $EM$ - медиана, то $\angle EMK = \angle EMD = 135^\circ$.
2.  Найдем площадь треугольника $DEM$:
    $S_{DEM} = \frac{1}{2} \cdot EM \cdot DM \cdot \sin{\angle EMD} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sin{135^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3$.
3.  Так как $EM$ - медиана, то $S_{DEK} = 2 \cdot S_{DEM} = 2 \cdot 3 = 6$ см².
4.  Так как $\triangle ABC = \triangle DEK$, то $S_{ABC} = S_{DEK} = 6$ см².
Ответ: а) $\triangle ABC = \triangle DEK$ (доказано). б) $S_{ABC} = 6$ см².

2.  
    Дано: Прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AB$, $DE \perp AB$. $AB = 13$ см, $AE = 5.2$ см, $DE = 2$ см.
    а) Доказать, что $\triangle ABC \sim \triangle ADE$.
    б) Найти катеты треугольника $ABC$.
    в) Доказать, что около четырехугольника $BDEC$ можно описать окружность.
Решение:
а)
1.  Рассмотрим треугольники $ABC$ и $ADE$. $\angle C = 90^\circ$ (по условию), $\angle DEA = 90^\circ$ (по условию). Следовательно, $\angle C = \angle DEA$.
2.  $\angle A$ - общий.
3.  Следовательно, $\triangle ABC \sim \triangle ADE$ по двум углам.

б)
1.  Из подобия треугольников следует: $\frac{AD}{AC} = \frac{DE}{BC} = \frac{AE}{AB}$.
2.  Выразим $AD$ через $AE$ и $AB$: $AD = AB - BD$.
3.  Подставим известные значения: $\frac{DE}{BC} = \frac{AE}{AB} \Rightarrow \frac{2}{BC} = \frac{5.2}{13} \Rightarrow BC = \frac{2 \cdot 13}{5.2} = 5$ см.
4.  Найдем $AC$ по теореме Пифагора: $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

в)
1.  Четырехугольник $BDEC$ - четырехугольник, у которого сумма противоположных углов равна $180^\circ$.
2.  $\angle BDE + \angle BCE = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.
3.  Следовательно, около четырехугольника $BDEC$ можно описать окружность.
Ответ: а) $\triangle ABC \sim \triangle ADE$ (доказано). б) $BC = 5$ см, $AC = 12$ см. в) Около четырехугольника $BDEC$ можно описать окружность (доказано).