Дано: 

1. Решите уравнение: \(2x - 12 = \frac{1}{4}(3x + 2)\).

Решение:

1. Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:
   \[
   4(2x - 12) = 3x + 2
   \]

2. Раскроем скобки:
   \[
   8x - 48 = 3x + 2
   \]

3. Перенесем все члены с \(x\) в левую часть, а свободные члены в правую:
   \[
   8x - 3x = 2 + 48
   \]

4. Упростим:
   \[
   5x = 50
   \]

5. Разделим обе части на 5:
   \[
   x = 10
   \]

Ответ: \(x = 10\).

---

Дано: 

2. Упростите выражение: \(\frac{\frac{x}{3} - \frac{z}{2}}{x^2 - z^2} \cdot \frac{6x}{z + xz}\).

Решение:

1. Упростим числитель первого дробного выражения:
   \[
   \frac{x}{3} - \frac{z}{2} = \frac{2x - 3z}{6}
   \]

2. Упростим знаменатель первого дробного выражения:
   \[
   x^2 - z^2 = (x - z)(x + z)
   \]

3. Упростим знаменатель второго дробного выражения:
   \[
   z + xz = z(1 + x)
   \]

4. Подставим упрощенные выражения:
   \[
   \frac{\frac{2x - 3z}{6}}{(x - z)(x + z)} \cdot \frac{6x}{z(1 + x)}
   \]

5. Упростим выражение, сократив 6:
   \[
   \frac{2x - 3z}{(x - z)(x + z)} \cdot \frac{x}{z(1 + x)}
   \]

6. Объединим дроби:
   \[
   \frac{(2x - 3z)x}{(x - z)(x + z)z(1 + x)}
   \]

Ответ: \(\frac{(2x - 3z)x}{(x - z)(x + z)z(1 + x)}\).

---

Дано: 

3. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой: \(8 - 5(x + 2) < 4(1 - x)\).

Решение:

1. Раскроем скобки:
   \[
   8 - 5x - 10 < 4 - 4x
   \]

2. Упростим:
   \[
   -5x - 2 < 4 - 4x
   \]

3. Перенесем все члены с \(x\) в одну сторону:
   \[
   -5x + 4x < 4 + 2
   \]

4. Упростим:
   \[
   -x < 6
   \]

5. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
   \[
   x > -6
   \]

Ответ: \(x > -6\).

---

Дано: 

4. Решите систему уравнений:
   \[
   \begin{cases} 
   4y - x = 1, \\
   2xy = 1.
   \end{cases}
   \]

Решение:

1. Из первого уравнения выразим \(x\):
   \[
   x = 4y - 1
   \]

2. Подставим во второе уравнение:
   \[
   2y(4y - 1) = 1
   \]

3. Раскроем скобки:
   \[
   8y^2 - 2y = 1
   \]

4. Перенесем все в одну сторону:
   \[
   8y^2 - 2y - 1 = 0
   \]

5. Решим квадратное уравнение по формуле:
   \[
   y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
   \]
   где \(a = 8\), \(b = -2\), \(c = -1\).

6. Найдем дискриминант:
   \[
   D = (-2)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1) = 4 + 32 = 36
   \]

7. Найдем корни:
   \[
   y = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{16} = \frac{2 \pm 6}{16}
   \]

8. \(y_1 = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}\), \(y_2 = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4}\).

9. Найдем \(x\) для каждого \(y\):
   - Для \(y = \frac{1}{2}\):
     \[
     x = 4 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 2 - 1 = 1
     \]

   - Для \(y = -\frac{1}{4}\):
     \[
     x = 4 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) - 1 = -1 - 1 = -2
     \]

Ответ: \((x, y) = (1, \frac{1}{2})\) и \((x, y) = (-2, -\frac{1}{4})\).