Дано: Решить уравнение $x^2 - 4x + 4 = (2x - 7)^2$.
Решение:
1. Раскрываем скобки в правой части уравнения:
$x^2 - 4x + 4 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 7 + 7^2$
$x^2 - 4x + 4 = 4x^2 - 28x + 49$
2. Переносим все члены уравнения в правую часть:
$0 = 4x^2 - x^2 - 28x + 4x + 49 - 4$
3. Упрощаем уравнение:
$0 = 3x^2 - 24x + 45$
4. Делим обе части уравнения на 3:
$0 = x^2 - 8x + 15$
5. Решаем квадратное уравнение $x^2 - 8x + 15 = 0$.
Ищем корни с помощью дискриминанта:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4$
6. Находим корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$
7. Проверка корней:
При $x = 5$:
$5^2 - 4 \cdot 5 + 4 = (2 \cdot 5 - 7)^2$
$25 - 20 + 4 = (10 - 7)^2$
$9 = 3^2$
$9 = 9$ (верно)
При $x = 3$:
$3^2 - 4 \cdot 3 + 4 = (2 \cdot 3 - 7)^2$
$9 - 12 + 4 = (6 - 7)^2$
$1 = (-1)^2$
$1 = 1$ (верно)
Ответ: $x_1 = 5$, $x_2 = 3$.