1.
Дано:
$T_1 = 8$ лет, $a_1 = 3$ а.е., $T_2 = 16$ лет.
Решение:
1. Используем третий закон Кеплера:
$$\frac{T_1^2}{a_1^3} = \frac{4\pi^2}{GM}$$
где $T_1$ - период обращения первой планеты, $a_1$ - радиус орбиты первой планеты, $G$ - гравитационная постоянная, $M$ - масса центральной звезды.
2. Выразим массу центральной звезды:
$$M = \frac{4\pi^2 a_1^3}{GT_1^2}$$
3. Подставим значения $T_1$ и $a_1$:
$$M = \frac{4\pi^2 (3 \text{ а.е.})^3}{G(8 \text{ лет})^2}$$
4. Выразим массу в массах Солнца. Для этого воспользуемся тем, что для Земли $T_E = 1$ год и $a_E = 1$ а.е., а масса Солнца $M_S = \frac{4\pi^2 a_E^3}{GT_E^2}$. Тогда:
$$\frac{M}{M_S} = \frac{a_1^3 T_E^2}{a_E^3 T_1^2} = \frac{3^3 \cdot 1^2}{1^3 \cdot 8^2} = \frac{27}{64} \approx 0.42$$
5. Таким образом, масса центральной звезды составляет примерно 0.42 массы Солнца.
6. Найдем массу в килограммах. Масса Солнца $M_S \approx 1.989 \cdot 10^{30}$ кг.
$$M = 0.42 M_S = 0.42 \cdot 1.989 \cdot 10^{30} \approx 0.835 \cdot 10^{30} \text{ кг}$$
7. Найдем радиус орбиты второй планеты, используя третий закон Кеплера:
$$\frac{T_1^2}{a_1^3} = \frac{T_2^2}{a_2^3}$$
$$\frac{8^2}{3^3} = \frac{16^2}{a_2^3}$$
$$a_2^3 = \frac{16^2 \cdot 3^3}{8^2} = \frac{256 \cdot 27}{64} = 4 \cdot 27 = 108$$
$$a_2 = \sqrt[3]{108} = \sqrt[3]{4 \cdot 27} = 3\sqrt[3]{4} \approx 4.76 \text{ а.е.}$$
Ответ: Масса центральной звезды $0.42 M_S$ или $0.835 \cdot 10^{30}$ кг, радиус орбиты второй планеты $4.76$ а.е.

2.
Дано: $T = 11385$ лет.
Решение:
1. Используем третий закон Кеплера для астероида и Земли:
$$\frac{T^2}{a^3} = \frac{T_E^2}{a_E^3}$$
где $T$ - период астероида, $a$ - радиус орбиты астероида, $T_E = 1$ год - период Земли, $a_E = 1$ а.е. - радиус орбиты Земли.
2. Выразим радиус орбиты астероида:
$$a^3 = a_E^3 \frac{T^2}{T_E^2} = 1^3 \cdot \frac{11385^2}{1^2} = 11385^2$$
$$a = \sqrt[3]{11385^2} = (11385^2)^{1/3} \approx 509.7 \text{ а.е.}$$
Ответ: Радиус орбиты астероида примерно $509.7$ а.е.

3.
Дано: $T_1 = 13$ дней, $a_1 = 18000$ км, $T_2 = 16$ дней.
Решение:
1. Используем третий закон Кеплера:
$$\frac{T_1^2}{a_1^3} = \frac{T_2^2}{a_2^3}$$
2. Выразим радиус орбиты второго спутника:
$$a_2^3 = a_1^3 \frac{T_2^2}{T_1^2}$$
$$a_2 = a_1 \sqrt[3]{\frac{T_2^2}{T_1^2}} = 18000 \cdot \sqrt[3]{\frac{16^2}{13^2}} = 18000 \cdot \sqrt[3]{\frac{256}{169}} \approx 18000 \cdot \sqrt[3]{1.515} \approx 18000 \cdot 1.148 \approx 20664 \text{ км}$$
Ответ: Радиус орбиты второго спутника примерно $20664$ км.