Дано: Параллелограмм $ABCD$, $\angle A = 60^\circ$, $AM$ - биссектриса $\angle A$, $AM$ пересекает $BC$ в точке $M$, $AM \perp DM$, $AB = 8$.
Найти: Периметр параллелограмма $ABCD$.

Решение:
1. Так как $AM$ - биссектриса $\angle A$, то $\angle BAM = \angle MAD = \frac{1}{2} \angle A = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.
2. В прямоугольном треугольнике $AMD$ сумма острых углов равна $90^\circ$, следовательно, $\angle ADM = 90^\circ - \angle MAD = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
3. $\angle ADC = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ (как углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма).
4. $\angle MDC = \angle ADC - \angle ADM = 120^\circ - 60^\circ = 60^\circ$.
5. В треугольнике $AMD$ $\angle MAD = 30^\circ$, $\angle ADM = 60^\circ$, $\angle AMD = 90^\circ$. В треугольнике $MDC$ $\angle MDC = 60^\circ$.
6. Рассмотрим треугольник $CDM$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. $\angle MCD = 180^\circ - \angle MDC - \angle DMC$. Так как $AM \perp DM$, то $\angle AMD = 90^\circ$. $\angle CMD = 180^\circ - \angle AMD - \angle AMB$.
7. Так как $ABCD$ - параллелограмм, то $BC \parallel AD$. Следовательно, $\angle MAD = \angle AMB = 30^\circ$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AM$.
8. В треугольнике $ABM$ $\angle BAM = \angle AMB = 30^\circ$, следовательно, треугольник $ABM$ - равнобедренный, и $AB = BM = 8$.
9. $\angle CMD = 180^\circ - \angle AMB - \angle AMD = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ$.
10. В треугольнике $CDM$ $\angle MDC = 60^\circ$, $\angle CMD = 60^\circ$, следовательно, $\angle MCD = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$. Значит, треугольник $CDM$ - равносторонний, и $CD = DM = CM$.
11. В прямоугольном треугольнике $AMD$ $\angle MAD = 30^\circ$. Катет, лежащий против угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Следовательно, $DM = \frac{1}{2}AD$.
12. $AD = BC = BM + MC = 8 + MC$. Так как $DM = CM$, то $AD = 8 + DM$.
13. $DM = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}(8 + DM)$. $2DM = 8 + DM$, $DM = 8$.
14. $AD = 8 + DM = 8 + 8 = 16$.
15. Периметр параллелограмма $P = 2(AB + AD) = 2(8 + 16) = 2 \cdot 24 = 48$.

Ответ: 48.