Дано:
Угол $ACB = 34^\circ$.
Градусная мера дуги $DE = 42^\circ$.
Найти угол $AKB$.

Решение:
1. Угол $ACB$ - вписанный угол, опирающийся на дугу $AB$. Следовательно, градусная мера дуги $AB$ равна удвоенной градусной мере угла $ACB$:
$AB = 2 \cdot ACB = 2 \cdot 34^\circ = 68^\circ$.

2. Угол $AKB$ - центральный угол, опирающийся на дугу $AB$, следовательно, градусная мера угла $AKB$ равна градусной мере дуги $AEB$.
Дуга $AEB$ состоит из дуг $AE$, $DE$ и $DB$.
Следовательно, $AEB = AD + DE + EB$.
Также, дуга $AB$ состоит из дуг $AD$ и $EB$.
Следовательно, $AB = AD + EB$.

3. Рассмотрим окружность. Полная градусная мера окружности равна $360^\circ$.
Тогда $AEB + AB = 360^\circ$.
$AEB = 360^\circ - AB = 360^\circ - 68^\circ = 292^\circ$.

4. Дуга $AEB$ состоит из дуг $AD$, $DE$ и $EB$.
$AEB = AD + DE + EB$.
$292^\circ = AD + 42^\circ + EB$.
$AD + EB = 292^\circ - 42^\circ = 250^\circ$.

5. Дуга $AB$ состоит из дуг $AD$ и $EB$.
$AB = AD + EB$.
$68^\circ = AD + EB$.

6. Угол $AKB$ опирается на дугу $AEB$, градусная мера которой равна $360^\circ - (дуга\,DE + дуга\,AB)$, где дуга $AB$ равна $2 \cdot 34^\circ = 68^\circ$.
Тогда дуга $AEB = 360^\circ - (42^\circ + 68^\circ) = 360^\circ - 110^\circ = 250^\circ$.
Угол $AKB$ является центральным углом, опирающимся на дугу $AEB$, поэтому $\angle AKB = \frac{1}{2}(дуга\,AD + дуга\,EB) = \frac{1}{2} \cdot 250^\circ = 125^\circ$.

7. Угол $AKB$ - центральный, опирается на дугу $AB$, не содержащую точек $D$ и $E$.
Дуга $AB = 68^\circ$.
Тогда угол $AKB = \frac{1}{2}(дуга\,AB + дуга\,DE) = \frac{1}{2}(68^\circ + 42^\circ) = \frac{1}{2}(110^\circ) = 55^\circ$.
Угол $AKB$ - внешний угол треугольника $AKD$.
$\angle AKB = \angle KAD + \angle ADK$.
$\angle KAD = \angle EAB = \frac{1}{2} \cdot 42^\circ = 21^\circ$.
$\angle ADK = \angle ADB = \frac{1}{2} \cdot 68^\circ = 34^\circ$.
$\angle AKB = 21^\circ + 34^\circ = 55^\circ$.

Ответ: 55