Дано:
4) $y'' - 6y' + 9y = 0$, $y(0) = -2$, $y'(0) = 4$

Решение:
1. Составляем характеристическое уравнение:
$$k^2 - 6k + 9 = 0$$
2. Решаем характеристическое уравнение:
$$(k - 3)^2 = 0$$
$$k_1 = k_2 = 3$$
3. Записываем общее решение дифференциального уравнения:
$$y(x) = C_1e^{3x} + C_2xe^{3x}$$
4. Находим первую производную общего решения:
$$y'(x) = 3C_1e^{3x} + C_2e^{3x} + 3C_2xe^{3x}$$
5. Используем начальные условия $y(0) = -2$ и $y'(0) = 4$:
$$y(0) = C_1e^{3 \cdot 0} + C_2 \cdot 0 \cdot e^{3 \cdot 0} = C_1 = -2$$
$$y'(0) = 3C_1e^{3 \cdot 0} + C_2e^{3 \cdot 0} + 3C_2 \cdot 0 \cdot e^{3 \cdot 0} = 3C_1 + C_2 = 4$$
6. Решаем систему уравнений:
$$C_1 = -2$$
$$3C_1 + C_2 = 4$$
Подставляем $C_1 = -2$ во второе уравнение:
$$3(-2) + C_2 = 4$$
$$-6 + C_2 = 4$$
$$C_2 = 10$$
7. Записываем частное решение:
$$y(x) = -2e^{3x} + 10xe^{3x}$$

Ответ: $y(x) = -2e^{3x} + 10xe^{3x}$

Дано:
9) $y'' = \frac{y'}{x} + x$

Решение:
1. Делаем замену $p = y'$, тогда $p' = y''$. Получаем уравнение:
$$p' = \frac{p}{x} + x$$
2. Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Решаем его как уравнение Бернулли.
$$p' - \frac{p}{x} = x$$
3. Решаем соответствующее однородное уравнение:
$$p' - \frac{p}{x} = 0$$
$$\frac{dp}{dx} = \frac{p}{x}$$
$$\frac{dp}{p} = \frac{dx}{x}$$
$$\int \frac{dp}{p} = \int \frac{dx}{x}$$
$$\ln|p| = \ln|x| + C$$
$$p = Cx$$
4. Используем метод вариации постоянной: $p = C(x)x$.
5. Находим производную $p'$:
$$p' = C'(x)x + C(x)$$
6. Подставляем $p$ и $p'$ в исходное уравнение:
$$C'(x)x + C(x) = \frac{C(x)x}{x} + x$$
$$C'(x)x + C(x) = C(x) + x$$
$$C'(x)x = x$$
$$C'(x) = 1$$
7. Интегрируем $C'(x)$:
$$C(x) = \int 1 dx = x + C_1$$
8. Находим $p$:
$$p = (x + C_1)x = x^2 + C_1x$$
9. Так как $p = y'$, то $y' = x^2 + C_1x$.
10. Интегрируем $y'$:
$$y = \int (x^2 + C_1x) dx = \frac{x^3}{3} + \frac{C_1x^2}{2} + C_2$$

Ответ: $y = \frac{x^3}{3} + C_1\frac{x^2}{2} + C_2$