Дано: Угол $ACB = 34°$, сторона $CA$ касается окружности в точке $A$, угол $ABC = 32°$.
Решение:
1. Угол $CAB$ можно найти, зная, что сумма углов треугольника $ABC$ равна $180°$:
$CAB = 180° - ACB - ABC = 180° - 34° - 32° = 114°$.
2. Угол $BAE$ является углом между касательной $AC$ и хордой $AB$. По теореме об угле между касательной и хордой, он равен половине дуги, заключенной между ними. То есть, угол $BAE$ равен половине градусной меры дуги $AB$.
3. Угол $ABC$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $AC$. Следовательно, дуга $AC$ равна удвоенному углу $ABC$: $AC = 2 \cdot ABC = 2 \cdot 32° = 64°$.
4. Вся окружность равна $360°$. Дуга $AB$ равна $360°$ минус дуга $AC$ минус дуга $BC$.
5. Угол $ACB$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $AB$. Следовательно, дуга $AB$ равна удвоенному углу $ACB$: $AB = 2 \cdot ACB = 2 \cdot 34° = 68°$.
6. Угол $BAE$ равен половине дуги $AB$: $BAE = \frac{1}{2} \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 68° = 34°$.
Ответ: $BAE = 34°$.

Дано: Угол $ACB = 34°$. Градусная мера дуги $DE$ окружности, не содержащей точек $A$ и $B$, равна $42°$.
Решение:
1. Пусть $O$ - центр окружности. Тогда центральный угол $DOE$, опирающийся на дугу $DE$, равен градусной мере дуги $DE$, то есть $DOE = 42°$.
2. Угол $ACB$ - вписанный угол, опирающийся на дугу $AB$. Значит, дуга $AB = 2 \cdot ACB = 2 \cdot 34° = 68°$.
3. Угол $AKB$ - угол между хордами $AD$ и $BE$. Он равен полусумме дуг, заключенных между этими хордами. То есть, $AKB = \frac{1}{2} (DE + AB) = \frac{1}{2} (42° + 68°) = \frac{1}{2} (110°) = 55°$.
Ответ: $AKB = 55°$.