Решение экзаменационного билета №4

Задание 1

Дано:
Отношение долей государства и частных лиц: 4:3.
Общая прибыль: 42 млн. рублей.
Найти: сумму для частных акционеров.

Решение:
1. Найдем общее количество частей: 4 + 3 = 7.
2. Найдем величину одной части: 42 / 7 = 6 млн. рублей.
3. Найдем сумму, приходящуюся на долю частных акционеров (3 части): 3 * 6 = 18 млн. рублей.
Ответ: А (18)

Задание 2

Дано:
Точка A(8;4).
Функции:
А) $y = \sqrt[3]{x^2}$
Б) $y = x^{1/3}$
В) $y = x^3$
Г) $y = \log_2 x$
Д) $y = 3^x$
Найти: функцию, графику которой принадлежит точка A.

Решение:
1. Подставим координаты точки A (x = 8, y = 4) в уравнение функции А:
$$y = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$$
Получили верное равенство 4 = 4.
2. Проверим остальные варианты для достоверности.
3. Для Б: $y = 8^{1/3} = 2$ (не равно 4).
4. Для В: $y = 8^3 = 512$ (не равно 4).
5. Для Г: $y = \log_2 8 = 3$ (не равно 4).
6. Для Д: $y = 3^8 = 6561$ (не равно 4).
Ответ: А ($y = \sqrt[3]{x^2}$)

Задание 3

Дано:
Уравнение $(2x + 7)^2 - 4x^2 = 0$.
Найти: корень уравнения.

Решение:
1. Применим формулу разности квадратов к левой части уравнения:
$$((2x + 7) - 2x)((2x + 7) + 2x) = 0$$
2. Упростим выражение в скобках:
$$7(4x + 7) = 0$$
3. Разделим обе части уравнения на 7:
$$4x + 7 = 0$$
4. Перенесем свободный член в правую часть:
$$4x = -7$$
5. Найдем x:
$$x = -1,75$$
Ответ: А (-1,75)

Задание 4

Дано:
Пересекающиеся прямые m и n.
$\alpha + \beta = 40^\circ$
Найти: величину угла $\gamma$.

Решение:
1. Углы $\alpha$ и $\beta$ являются вертикальными, так как они образованы пересечением двух прямых и лежат друг напротив друга.
2. Вертикальные углы равны, поэтому $\alpha = \beta$.
3. Подставим это равенство в условие:
$$\alpha + \alpha = 40^\circ \implies 2\alpha = 40^\circ \implies \alpha = 20^\circ$$
4. Углы $\alpha$ и $\gamma$ являются смежными, так как они имеют общую сторону, а их другие стороны лежат на одной прямой.
5. Сумма смежных углов равна 180°:
$$\alpha + \gamma = 180^\circ$$
6. Найдем угол $\gamma$:
$$\gamma = 180^\circ - 20^\circ = 160^\circ$$
Ответ: Г (160°)

Задание 5

Дано:
Неравенство $x^2 + x < x(x + 5) + 5$.
Найти: наименьшее целое число, являющееся решением.

Решение:
1. Раскроем скобки в правой части неравенства:
$$x^2 + x < x^2 + 5x + 5$$
2. Вычтем $x^2$ из обеих частей неравенства:
$$x < 5x + 5$$
3. Перенесем слагаемые с переменной в левую часть:
$$x - 5x < 5$$
$$-4x < 5$$
4. Разделим обе части на -4, меняя знак неравенства на противоположный:
$$x > -1,25$$
5. Наименьшим целым числом, удовлетворяющим условию $x > -1,25$, является число -1.
Ответ: А (-1)

Задание 6

Дано:
Интеграл $\int_{1}^{2} (5 - 2x) dx$.
Вычислить значение.

Решение:
1. Найдем первообразную функции $f(x) = 5 - 2x$:
$$F(x) = 5x - x^2$$
2. Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$$\int_{1}^{2} (5 - 2x) dx = F(2) - F(1)$$
3. Вычислим значение первообразной в верхней точке x = 2:
$$F(2) = 5 \cdot 2 - 2^2 = 10 - 4 = 6$$
4. Вычислим значение первообразной в нижней точке x = 1:
$$F(1) = 5 \cdot 1 - 1^2 = 5 - 1 = 4$$
5. Найдем разность значений:
$$F(2) - F(1) = 6 - 4 = 2$$
Ответ: Б (2)