Решаю задачу номер 6.

Дано: Окружность с центром O, CD - касательная, D - точка касания, радиус окружности $r = 6$ см, $\angle DCO = 30^\circ$.
Решение:
1. Так как CD - касательная к окружности в точке D, то радиус OD перпендикулярен касательной CD. Следовательно, $\angle ODC = 90^\circ$.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ODC$. В этом треугольнике известны угол $\angle DCO = 30^\circ$ и катет OD (радиус), равный 6 см.
3. Нужно найти гипотенузу OC.
4. Используем тригонометрическое соотношение для косинуса угла $\angle DCO$:
$$\cos(\angle DCO) = \frac{CD}{OC}$$
5. Нам нужно найти OC, а не CD, поэтому используем синус угла $\angle DCO$:
$$\sin(\angle DCO) = \frac{OD}{OC}$$
6. Подставляем известные значения:
$$\sin(30^\circ) = \frac{6}{OC}$$
7. Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:
$$\frac{1}{2} = \frac{6}{OC}$$
8. Решаем уравнение относительно OC:
$$OC = 6 \cdot 2$$
$$OC = 12$$
Ответ: $OC = 12$ см.